Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Курсовая работа1.doc
Скачиваний:
17
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
724.99 Кб
Скачать

Задание №1

Условие: Ателье по ремонту аппаратуры имеет 5 опытных мастеров одной квалификации. В среднем в течение часа от населения поступает в ремонт λ=1,8 аппаратов в час. Входной поток заявок простейший. Среднее время ремонта одного аппарата одним мастером 2,3 часа (tобс.). Время обслуживания показательное. Очередь не ограничена.

Задание:

1. Описать состояния системы, построить грай состояний.

2. Найти вероятности системы для стационарного случая и показатели

эффективности работы ателье, проанализировать результаты расчетов, оценить работу ателье.

3. Найти функциональную зависимость средней длины очереди от интенсивности входного потока и от времени обслуживания .Представить зависимость в виде таблиц и графиков.

4. Вычислить процент аппаратов, отремонтированных без очереди, а также вероятность того, что все мастера будут заняты в тот момент, когда придет следующая заявка.

5. Найти оптимальное число мастеров в ателье, используя стоимостную функцию:

Известно, что с1=500 уе – стоимость дополнительного мастера в ателье, с2=50 уе – потери от простоя аппарата в ожидании ремонта, с3=100уе – потери от простоя одного мастера.

6. Если интенсивность потока аппаратов, отданных в ремонт, увеличится в 1.5 раз, сколько мастеров потребуется ателье за это время?

Теоретическое введение.

Данная СМО – многоканальная система с неограниченной очередью.

Рассмотрим общий случай, найдем вероятности стационарных состояний СМО, оценим работу СМО.

Запишем состояния системы СМО:

S0– все каналы свободны,

S1 – один канал занят.

S2 – два канала заняты.

…………..

Sn – n каналов заняты.

Sn+1 - n каналов заняты, одна заявка в очереди.

Sn+2 – n каналов заняты, две заявки в очереди.

и так далее.

В этой СМО ни одна заявка не получит отказ: pотк=0

Граф СМО имеет вид:

Рис. 1

Интенсивности переходов Si в Si+1, при i=0, 1,…n-1 одинаковы и равны λ, так как входной поток простейший.

Интенсивность обратных переходов является кратной числу занятых каналов.

Запишем алгебраические уравнения для стационарного случая и определим из них и нормировочного условия p0.

Обозначим λ/µ=ρ, рассмотрим величину ρ/n. Если ρ/n<1, то вероятности стационарных состояний можно найти по формулам:

(1)

;;…;;;…;.

Если ρ/n≥1, то предельные вероятности также, как стационарные вероятности, не существуют, очередь растет неограниченно и СМО не может работать. Запишем формулы для расчета коэффициентов эффективности работы СМО для случая ρ/n<1.

pотк=0, Q=1- pотк=1, A=λ (2)

Среднее число занятых каналов –

(3)

Среднее число заявок в очереди –

(4)

Среднее время ожидание

(5)

Вероятность того, что все каналы заняты(событие А), вычисляется по формуле:

(6)

Соответственно, вероятность того, что хотя бы один канал свободен, вычисляется по формуле обратной вероятности:

(7)

Чтобы найти оптимальное количество обслуживающих каналов для СМО с неограниченной очередью, используется стоимостная функция c(n), где n – число обслуживающих каналов. Ниже представлены виды стоимостных функций:

1. ,где n – число обслуживающих каналов, с1 – затраты на работу одного дополнительного канала в единицу времени, с2 – цена ожидания в единицу времени в расчете на одно требование, zсист(n) – среднее число клиентов в СМО для каждого n.

2. , где n – число обслуживающих каналов, с1 – затраты на работу одного дополнительного канала, к единице времени, с2 – цена ожидания одной заявки в единицу времени, с3 – стоимостные потери от простоя одного канала в единицу времени, r0(n) – среднее число заявок, стоящих в очереди, ксв(n) – среднее число свободных каналов.

3. ,где с1 – стоимостные потери из-за простоя одного клиента в СМО, t1(n) – среднее время простоя одного клиента в СМО,

с2 – стоимость одного часа простоя канала СМО, t2(n) – среднее время простоя канала.

Оптимальным будет считаться то число каналов, при котором значение стоимостной функции будет минимальным.

Решение:

1. Запишем состояния системы СМО:

S0 – все мастера свободны,

S1 – один мастер занят.

S2 – два мастера заняты.

S3 – три мастера заняты.

S4 – четыре мастера заняты.

S5 – все мастера заняты.

S6 – все мастера заняты, один аппарат в очереди.

S7 – все мастера заняты, два аппарата в очереди

и так далее.

Теоретически число состояний не ограничено(бесконечно).

Граф СМО имеет вид:

2. Вычислим стационарные вероятности состояний СМО:

n=5

По формуле (1) найдем начальную вероятность:

Заметим, что вероятность того, что все мастера свободны, очень мала:

p0=0.01

По формуле (2), относительная и абсолютная пропускные способности

равны:

pотк=0, Q=1- pотк=1, A=λ=1,8

По формуле (3) найдем среднее число занятых каналов:

Можно сделать вид, что ателье довольно сильно загружено.

Найдем среднее число аппаратов, ожидающих ремонт по формуле (4), и время ожидания (5):

3. Найдем функциональную зависимость , придавая λ различные значения из диапазона 1,2…2,15. При λ, примерно равной 2, очередь начинает быстро возрастать, и при λ=2,175 ρ=1, СМО перестает работать.

Зависимость представим в виде таблицы:

λ

1,2

1,5

1,8

2,1

2,15

r0

0,22

0,803

2,92

25,62

83,533

Ниже представлен график зависимости.

Если один из мастеров заболеет или уйдет в отпуск, то при tобсл=2.3, ателье не сможет стационарно работать, очередь будет расти неограниченно. Зависимость представлена ниже.

tобсл

2,3

2

1,5

1

r0

2,92

1,05

0,209

0,023

Ниже представлен график зависимости:

4.Найдем вероятность, что аппарат будет обслужен без очереди по формуле (7):

p(B)=1-p(A), где р(А) – вероятность того, что все мастера заняты.

Аппарат будет обслужен без очереди в 39% случаев.

Вероятность того, что все мастера заняты (6) будет равна:

Значит, в 61% случаев все мастера будут заняты.

5. Найдем оптимальное число мастеров, если с1=500 уе – стоимость дополнительного мастера, с2=50 уе - потери от простоя аппарата в ожидании ремонта, с3 = 100 уе потери от простоя одного мастера.

Рассчитаем стоимостной показатель по формуле:

.

При n=1..5 СМО не работает (ρ/n>1).

n

5

6

7

8

9

c(n)

2732,66

3221,7

3797,26

4389,7

4987,2

Наименьшее значение стоимостной функции достигается при n=5. Оптимальное число мастеров – пять.

5. Летом интенсивность пассажиров увеличивается в 1.5 раз (λ=2,7).

ρ=2,7*2,3=6,24, ρ/4>1. СМО не работает.

Определение оптимального числа кассовых аппаратов:

При n<7, ρ/n>1 СМО не работает.

Рассчитаем стоимостной показатель по формуле:

n

7

8

9

10

c(n)

3849,1

4176,7

4802,48

5389

Анализ работы: при n<7, СМО работать не будет, а оптимальное число аппаратов при λ=6,21 будет равно семи.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.