2. Операції над неперервними функціями

Теорема. Якщо функції неперервні в точці , то функції у точці також неперервні.

Доведення цієї теореми безпосередньо випливає з означення неперервності функції в точці та властивостей границь.

Теорема (про неперервність складеної функції). Якщо функція неперервна в точці , а функція неперервна в точці , причому , то складена функція неперервна, як функція від , у точці .

Доведення. Нехай задано довільне число . Тоді за неперервністю функції у точці знайдеться число таке, що для всіх , які задовольняють умову .

Для числа за неперервністю функції у точці знайдеться число таке, що для всіх , які задовольняють умову .

Отже, для довільного числа знайдеться число таке, що з умови випливає нерівність , а це означає, що функція неперервна в точці .

Можна довести, що всі елементарні функції в області їх визначення неперервні.

Звернемо увагу на те, що з означення неперервності функції у точці випливає

.

Наведемо приклади деяких важливих границь, обчислення яких спирається на неперервність елементарних функцій.

1. .

Доведення.

.

Якщо , то маємо: , тобто при виконується .

2. .

Доведення. Покладемо . Тоді . Якщо , то і .

.

Якщо , то маємо: , тобто при справедливо .

3. .

Доведення. Покладемо . Якщо , то і .

Далі . Звідси маємо: . Тоді

Розглянемо степенево-показниковий вираз . Нехай . Запишемо

.

Оскільки , то . Звідси маємо

.

Зазначимо, що вирази є не визначеними. Для знаходження відповіді на питання, що є границею виразу , у цих випадках недостатньо знати лише границі функцій , потрібно знати закон, за яким вони прямують до своїх границь.

3. Класифікація точок розриву функції.

Точка називається точкою розриву функції , якщо функція у точці не є неперервною.

Точки розриву класифікують наступним чином.

Розриви першого роду. Якщо в точці функція має скінченну ліву й скінченну праву границю і вони рівні між собою, тобто

,

Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .

Якщо в точці функція має скінченну границю справа і скінченну границю зліва й , то точка називається точкою розриву функції із скінченним стрибком.

Розриви другого роду. Точка називається точкою розриву другого роду функції , якщо в цій точці функція не має принаймні однієї з односторонніх границь або хоча б одна з односторонніх границь є нескінченною.

Кусково-неперервні функції. Функція називається кусково-неперервною на відрізку , якщо вона неперервна в усіх внутрішніх точках , за винятком, можливо, скінченного числа точок, у яких має розрив 1-го роду і , крім того, має односторонні границі в точках та .