2. Односторонні границі

Число називається границею функції у точці справа (зліва), якщо для будь-якої збіжної до послідовності , елементи якої більші (менші) , відповідна послідовність збігається до числа .

Символічно це записують так:

.

Можна дати рівносильне означення односторонніх границь функції "в термінах ".

Число називається границею функції у точці справа (зліва), якщо для довільного числа існує таке , що для всіх , які задовольняють умову , виконується нерівність .

Теорема. Функція має в точці границю тоді й тільки тоді, коли в цій точці існує як права, так і ліва границя та ці границі рівні між собою. У цьому випадку границя функції дорівнює одностороннім границям.

Доведення. Нехай у точці існують односторонні границі функції і . Тоді, згідно з означенням односторонніх границь, для будь-якого існують числа , такі, що для всіх , які задовольняють умову , і для всіх , котрі задовольняють умову , виконується нерівність . Виберемо . Тоді для всіх , що задовольняють умову , виконуватиметься нерівність . Тобто . З іншого боку, якщо , то в точці існують односторонні границі й .

3. Границя функції на нескінченності

Число називається границею функції при , якщо для будь-якої нескінченно великої послідовності значень аргументу відповідна послідовність значень функції збігається до числа .

Символічно це записують так: .

Число називається границею функції при , якщо для будь-якої нескінченно великої послідовності , елементи якої додатні (від'ємні), відповідна послідовність значень функції збігається до числа .

Символічно це записують так:

.

Можна дати означення "в термінах ", рівносильні наведеним вище.

4.Теореми про границі функцій

Теорема. Якщо функція має границю в точці , то ця границя єдина.

Доведення. Припустимо, що функція має дві різні границі . Виберемо з області визначення функції довільну послідовність , збіжну до . Тоді послідовність , згідно з означенням границі функції, матиме дві різні границі , що неможливо, оскільки будь-яка збіжна послідовність має єдину границю.

Теорема. Якщо функції і мають у точці границі, то функції (при ) у точці також мають границі, причому

; (3)

; (4)

. (5)

Доведення. Нехай послідовність – довільна збіжна до послідовність значень аргументу функцій і . Тоді відповідні послідовності і збіжні й за властивостями збіжних послідовностей

;

;

(де ).

Отже, згідно з означенням границі функції мають місце співвідношення 3-5.

Теорема . Нехай функції і , визначені в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки , мають у точці границі, й такі, що в околі точки . Тоді .

Доведення. Виберемо в околі точки довільну збіжну до послідовність . Тоді послідовності і збіжні й . Тому за відповідною властивістю збіжних послідовностей .

Звідси, за означенням границі функції в точці, .

Наслідок. Якщо в деякому околі , крім, можливо, самої точки , виконується нерівність і функція у точці має границю, то .

Теорема 3.5. Нехай функції визначені в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки , функції мають у точці границю, рівну , тобто . Нехай, крім того, виконується нерівність . Тоді функція у точці має границю, рівну , тобто .

Доведення. Нехай – довільна збіжна до послідовність. Послідовності і відповідних значень функції збіжні, й . Оскільки , то згідно з відповідною властивістю збіжних послідовностей . Отже, за означенням границі функції в точці .

Зауваження. Наведені вище теореми про границі мають місце і для випадків .

ЛЕКЦІЯ 11

24. Визначні границі.

25. Нескінченно малі й нескінченно великі функції.

26. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.