3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса

Теорема. Із будь-якої обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.

Доведення. Нехай послідовність обмежена, тобто існує такий відрізок , що для всіх виконується нерівність . Поділимо відрізок пополам. Тоді принаймні в одній половині буде міститися нескінченна множина елементів послідовності . Позначимо цю половину . Поділимо тепер відрізок на два рівних відрізки і знову виберемо той із них, у якому міститься нескінченна множина елементів послідовності . Позначимо його . Продовжуючи цей процес, дістанемо послідовність укладених відрізків

,

у яких довжина -го відрізка прямує до нуля при . Отже, за теоремою про вкладені відрізки .

Побудову підпослідовності послідовності виконаємо так: у значенні виберемо довільний елемент із , який належить відрізку , у значенні  довільний елемент із , котрий належить відрізку і т. д. Оскільки для вибраних таким чином елементів виконується нерівність , то за теоремою 2.7 .

4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.

Означення границі числової послідовності не дає змоги встановлювати збіжність чи розбіжність числової послідовності, якщо не задано значення самої границі. Воно лише дає можливість перевіряти, чи є число границею даної послідовності, чи ні. Отже, виникає необхідність у наявності критерію збіжності числової послідовності, у якому б саме значення границі було відсутнє, тобто щоб цей критерій виявив "внутрішню" структуру збіжної послідовності. Такий критерій був установлений чеським математиком Больцано і французьким математиком Коші. Нині він має назву критерію Коші.

Теорема. Для того, щоб числова послідовність була збіжною, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого числа існував номер такий, що нерівність

(7)

виконувалася б для всіх , які одночасно задовольняють умову .

Доведення. Необхідність. Нехай послідовність збіжна і . Задамо довільне число . За означенням границі існує такий номер , що

(8)

для всіх . Зрозуміло, що коли , то для всіх таких нерівність (8) виконується. Отже, нехай . Тоді

Необхідність доведено.

Достатність. Нехай для будь-якого існує номер , такий, що для всіх , які одночасно задовольняють умову . Доведемо, що при цьому послідовність збіжна. Нехай заданому відповідає номер , для якого виконується нерівність (7) для всіх . Зафіксуємо одне із значень . Тоді за умовою (7) виконуються нерівності

тобто всі члени послідовності, починаючи з , знаходяться в околі фіксованої точки . Звідси випливає, що послідовність обмежена. Отже, згідно з теоремою Больцано-Вейєрштрасса, із неї можна виділити збіжну підпослідовність . Нехай . Тоді є також границею послідовності . Дійсно, можна вибрати настільки великим, щоб одночасно виконувались нерівності . Тоді, поклавши , матимемо і . Звідси одержуємо

для всіх . А це означає, що .

Послідовність називається фундаментальною або послідовністю Коші, якщо для будь-якого числа існує номер такий, що для всіх , котрі одночасно задовольняють умову , виконується нерівність .

ЛЕКЦІЯ 9

17. Поняття метричного простору.

18. Повні метричні простори. Теорема Бера.

19. Доповнення простору.