3. Число е

Розглянемо послідовність з загальним членом . Покажемо, що ця послідовність є збіжною. Для цього спочатку установимо, що вона зростаюча, а потім – що вона обмежена.

Згідно формули бінома Ньютона

Подамо цей вираз у наступному вигляді

(3)

Так само одержуємо

.

При виконується нерівність , тому , тобто послідовність зростаюча.

Оскільки кожний вираз, який стоїть у дужках у формулі (3) менший від одиниці і при , то

.

За формулою суми нескінченно спадної геометричної прогресії маємо

.

Отже, послідовність обмежена. Таким чином, послідовність із загальним членом збіжна. За означенням границю цієї послідовності позначають буквою , тобто

.

4. Теорема про вкладені відрізки.

Нехай задана послідовність відрізків

, де (4)

для всіх , таких, що кожний наступний міститься в попередньому і при зростанні довжина -ного відрізка прямує до нуля, тобто . Таку послідовність називатимемо послідовністю вкладених відрізків.

Теорема. Для будь-якої послідовності вкладених відрізків існує єдина точка, яка належить усім відрізкам даної послідовності.

Доведення. З означення вкладених відрізків випливає, що їх ліві кінці утворюють неспадну послідовність

, (5)

а праві – незростаючу

. (6)

При цьому послідовність (5) обмежена зверху, а послідовність (6) обмежена знизу, оскільки і . Отже, ці послідовності мають границі. Нехай . За умовою , а тому

.

Отже, . Покладемо . Тоді для всіх , тобто точка належить усім відрізкам (4).

Покажемо, що така точка єдина. Припустимо, що існує точка , відмінна від точки і така, що належить усім відрізкам (4). Тоді для будь-якого повинна виконуватися нерівність , з якої випливає , що , що суперечить умові.

Зазначимо, що теорема не справджується, якщо замість відрізків розглядати інтервали , наприклад для послідовності вкладених інтервалів

(6)

яку б точку з інтервалу не взяти, вона не буде належати всім інтервалам (6).

ЛЕКЦІЯ 8

13. Теорема про вкладені відрізки.

14. Підпослідовність числової послідовності.

15. Теорема Больцано  Вейєрштрасса.

16. Критерій Коші збіжності числової послідовності.

1. Теорема про вкладені відрізки.

Нехай задана послідовність відрізків

, де (4)

для всіх , таких, що кожний наступний міститься в попередньому і при зростанні довжина -ного відрізка прямує до нуля, тобто . Таку послідовність називатимемо послідовністю вкладених відрізків.

Теорема. Для будь-якої послідовності вкладених відрізків існує єдина точка, яка належить усім відрізкам даної послідовності.

Доведення. З означення вкладених відрізків випливає, що їх ліві кінці утворюють неспадну послідовність

, (5)

а праві – незростаючу

. (6)

При цьому послідовність (5) обмежена зверху, а послідовність (6) обмежена знизу, оскільки і . Отже, ці послідовності мають границі. Нехай . За умовою , а тому

.

Отже, . Покладемо . Тоді для всіх , тобто точка належить усім відрізкам (4).

Покажемо, що така точка єдина. Припустимо, що існує точка , відмінна від точки і така, що належить усім відрізкам (4). Тоді для будь-якого повинна виконуватися нерівність , з якої випливає , що , що суперечить умові.

Зазначимо, що теорема не справджується, якщо замість відрізків розглядати інтервали , наприклад для послідовності вкладених інтервалів

(6)

яку б точку з інтервалу не взяти, вона не буде належати всім інтервалам (6).

2. Підпослідовність числової послідовності

Нехай задана деяка послідовність . Розглянемо довільну зростаючу послідовність натуральних чисел . Виберемо з послідовності елементи з номерами , і розмістимо їх в тому самому порядкові, що і числа .

Одержана числова послідовність називається підпослідовністю послідовності . Можна встановити, що коли послідовність збіжна і має границею число , то будь-яка її підпослідовність також збіжна й має границею число .