3. Елементи комбінаторики

Перестановками із n елементів називаються такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком розміщення. Кількість таких перестановок обчислюється за формулою:

де n – ціле невід’ємне число.

Розміщенням із n елементів по m називаються такі впорядковані множини, які складаються з m елементів, взятих із даних n і відрізняються як порядком, так і елементами. Кількість таких перестановок обчислюється за формулою:

.

Комбінаціями із n елементів по m називаються такі множини m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом. Кількість таких комбінацій обчислюється за формулою:

.

Розв’язок типових задач

Приклад 3.1. Скількома способами можна посадити за одним столом 5 студентів?

Розв’язання. На перший стілець можна посадити будь-кого з 5 студентів, на другий будь-кого з 4, що лишилися. На третій – будь-кого з трьох, на четвертий – будь-кого з двох, на п’ятий – одного. Отже: . Є 120 різних способів, якими можна посадити за одним столом 5 студентів.

Приклад 3.2. Обчислити число варіантів п’ятиденного розкладу занять студента по 3 пари щодня, якщо вивчається 15 різних дисциплін і протягом тижня кожна з них повинна вивчатися.

Розв’язання. Розв’язок задачі зводиться до знаходження числа розміщень з 15 елементів по 3: . Тобто, існує 2730 варіантів розкладу.

Приклад 3.3. У лотереї є 36 елементів, з яких виграшними є 5. Скільки існує всіх різних комбінацій вибору цих 5 виграшних елементів (“Спортлото 5 із 36” )?

Розв’язання. Для обчислення всіх можливих варіантів обчислимо число комбінацій з 36 елементів по 5:

Задачі

3.1. Скільки п’ятизначних чисел можна записати, використовуючи п’ять різних цифр ( крім нуля )?

3.2. На кожній із шести однакових карток записано одну літеру Я, І, Т, Е, Р, О. Знайти ймовірність того, що картки навмання розкладені у рядок, утворять слово “теорія”?

3.3. Задано множину цілих чисел Її елементи навмання розставлені у рядок. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

А – розставлені у ряд числа утворюють зростаючу послідовність;

В – розставлені у ряд числа утворюють спадну послідовність;

С – цифра 1 стоятиме на першому місці, а 5 – на останньому;

D – цифри утворять парне п’ятицифрове число.

3.4. Скільки трьохзначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, якщо кожна цифра входить в зображення числа тільки один раз?

3.5. Маємо дев’ять однакових за розміром карток, на кожній з яких записано одну з цифр: 1,2,…,9. Навмання беруть чотири картки і розкладають в один рядок. Знайти ймовірність того, що при цьому дістанемо 1973.

3.6. У кімнаті перебуває 10 студентів. Знайти ймовірність того, що два і більше студенти не мають спільного дня народження.

3.7. Набираючи телефонний номер, абонент забув останні дві цифри і, пам’ятаючи лише, що вони різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрано вірні цифри.

3.8. Студенти другого курсу згідно з учбовим планом вивчають 10 дисциплін. На один день можна планувати заняття з 4 дисциплін. Скількома способами можна скласти розклад занять на день?

3.9. У цеху працює 10 верстатів, кожен з яких з певною ймовірністю може перебувати в роботоздатному стані або ні. Знайти ймовірність того, що під час роботи верстатів із ладу вийдуть 3 з них.

3.10. У шухляді міститься 10 однотипних деталей, 6 із яких стандартні, а решта – браковані. Навмання із шухляди беруть чотири деталі. Обчислити ймовірність таких випадкових подій:

А – чотири деталі виявляться стандартними;

В – чотири деталі виявляться бракованими;

С – із чотирьох деталей будуть дві стандартні і дві браковані.

3.11. Маємо колоду з 52 карт. З неї навмання дістаємо 6 карт. Обчислити ймовірність таких випадкових подій:

А – із 6 карт будуть 3 червоні і 3 чорні;

В – дістанемо 1 туз, 1 даму, а королів не буде взагалі;

С – буде 1 чорний туз;

D – буде хоча б один туз.

3.12. В гості прийшло n людей в калошах. Потім кожен з них навмання бере по дві. Знайти ймовірність того, що всі вони візьмуть праву і ліву.

3.13. Є 15 пасажирів і 4 вагони. Знайти ймовірність того, що: а) в першому вагоні два пасажири, в другому – три, в третьому – чотири, в четвертому – шість пасажирів; б) в першому вагоні буде сидіти чотири пасажири; в) в першому вагоні – два пасажири, а в другому – три.

3.14. Випустили n лотерейних білетів, з них m виграшних. Знайти ймовірність виграшу для того, хто купив k білетів.

3.15. Є 10 чоловік. Знайти ймовірність того, що всі 10 чоловік народилися в різні місяці.

3.16. В цеху працює 6 чоловіків і 4 жінки. За табельними номерами навмання відібрали 7 чоловік. Знайти ймовірність того, що серед них буде три жінки.

3.17. Знайти ймовірність того, що при підкиданні трьох гральних кубиків шістка випаде на одному (немає значення, на якому) кубику, якщо на двох інших кубиках випадає різне число очок (не рівне шести).

3.18. В пачці 20 перфокарт, помічених номерами 101, 102,…,120. Перфораторщиця навмання витягує дві карти. Знайти ймовірність того, що будуть витягнуті перфокарти із номерами 101 і 120.

3.19. На складі є 15 кінескопів, причому 10 з них виготовлені на Львівському заводі. Знайти ймовірність того, що серед 5 навмання взятих кінескопів три виявляться Львівського заводу.

3.20. Велика науково-дослідна фундація розглядає вкладення коштів у дослідницькі медичні проекти. Було розглянуто 20 проектів і 8 з них отримали кошти. Яка кількість різних проектів може бути профінансована?

3.21. У камері схову встановлено кодовий замок, шифр якого складається з чотирьох цифр. Скільки різних комбінацій може бути з цифр 1,2,3,4,5, якщо:

а) цифри в коді можуть повторюватися;

б) цифри в коді не повторюються;

в) код починається з цифри 3 ;

г) код є парним числом;

д) код – парне число, цифри якого не повторюються?

3.22. З Києва до Одеси можна вибрати один із 4 залізничних або один із 3 автобусних рейсів. Скільки є варіантів здійснити подорож за маршрутами:

а) Київ – Одеса;

б) Київ – Одеса – Київ;

в) Київ – Одеса – Київ, якщо зворотній шлях провести у поїзді?

3.23. На вершину гори веде 7 доріг. Скількома способами турист може піднятися на гору і спуститися з неї? Дати відповідь на те ж запитання, якщо підйом та спуск здійснювати різними шляхами.

3.24. Скільки є п’ятизначних чисел, які діляться на п’ять?

3.25. На одній із бічних сторін трикутника взято n точок, на другій – m точок. Кожну вершину при основі трикутника сполучено прямими з точками, взятими на протилежній бічній стороні. На скільки частин поділиться трикутник проведеними прямими?

3.26. У розіграші чемпіонату країни з футболу беруть участь 17 команд. Скількома способами може бути розподілено золоту, срібну і бронзову медалі?

3.27. Автомобільний номер складається з двох букв і чотирьох цифр. Знайти кількість усіх можливих номерів, які можна скласти з цифр від 0 до 9 та 30 букв українського алфавіту?

3.28. З 12 чоловік кожного дня протягом 6 днів вибирають 2 чергових. Визначити кількість різних списків чергових, якщо кожна особа чергує лише один раз.