14. Статистичні оцінки параметрів розподілу: точкові оцінки
Точковою називають статистичну оцінку, яка визначається одним числом.
Незміщеною називають точкову оцінку, математичне сподівання якої дорівнює оцінюваному параметру при будь-якому об’ємі вибірки.
Незміщеною оцінкою генеральної середньої (математичного сподівання) є вибіркова середня:
,
де
– варіанта вибірки;
– частота
варіанти
;
– об’єм
вибірки.
Зауваження
1. Якщо
початкові варіанти
– великі числа, то для спрощення
обрахунків потрібно відняти від кожної
варіанти одне і те ж число С, тобто
потрібно перейти до умовних варіант:
.
Тоді:
.
За С вигідно брати число, близьке до вибіркової середньої.
Зміщеною оцінкою генеральної дисперсії є вибіркова середня:
Більш зручна формула:
Зауваження 2. Якщо початкові варіанти – великі числа, то для спрощення обрахунків потрібно відняти від кожної варіанти одне і те ж число С, яке дорівнює вибірковій середній або близьке до неї, тобто потрібно перейти до умовних варіант: (дисперсія при цьому не зміниться).Тоді:
Зауваження
3. Якщо
початкові варіанти є десятковими дробами
з k
десятковими знаками після коми, то щоб
уникнути дій з дробами, можна помножити
на постійне число
,
тобто потрібно перейти до умовних
варіант:
.
При цьому дисперсія збільшиться в
разів. Тому, після обрахунку дисперсії
в умовних варіантах, необхідно розділити
її на
:
.
Незміщеною оцінкою генеральної дисперсії є виправлена вибіркова дисперсія:
Більш зручна формула:
В умовних варіантах вона має вигляд:
причому,
якщо
,
то
якщо
,
то
Вибірковим середньоквадратичним відхиленням називають квадратний корінь з вибіркової дисперсії:
Виправленим
середньоквадратичним відхиленням буде
Розмахом
варіації називають різницю між найбільшою
та найменшою варіантами
Для
порівняння оцінок варіацій статистичних
рядів із різними значеннями
,
які не дорівнюють нулеві, вводиться
коефіцієнт варіації, який обчислюється
за формулою:
Розв’язок типових задач
Приклад 14.1. За даним статистичним розподілом вибірки (див. табл. 14.1):
Обчислити незміщену оцінку генеральної середньої.
Знайти дисперсію та виправлену дисперсію.
Обчислити середнє квадратичне відхилення та виправлене середньоквадратичне відхилення.
Знайти розмах варіації та коефіцієнт варіації.
Таблиця 14.1
Вихідні дані до прикладу 14.1
|
2,5 |
4,5 |
6,5 |
8,5 |
10,5 |
|
10 |
20 |
30 |
30 |
10 |
Розв’язання.
Незміщеною
оцінкою генеральної середньої є вибіркова
середня. Оскільки
,
то:
1. Для обчислення вибіркової дисперсії визначимо:
Тоді:
2. Виправлена дисперсія матиме вигляд:
3.
Знайдемо середньоквадратичне відхилення:
Тоді виправленим середньоквадратичним відхиленням буде:
4.
– розмах варіації.
– коефіцієнт
варіації.
Задачі
14.1. Вибіркова сукупність задана табл. 14.2.
Таблиця 14.2
Вихідні дані до задачі 14.1
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
20 |
15 |
10 |
5 |
Знайти вибіркові характеристики.
14.2. Вимірювальним приладом, який не має систематичних похибок, були зроблені незалежні вимірювання деякої величини. Знайти незміщені оцінки математичного сподівання та дисперсії цієї величини за даними результатами вимірювань:
а) 8,9,11,12;
б) 4,6,10,204;
в) 2,3,5,10;
г) 5,15,10,20.
14.3. Знайти вибіркові середню та дисперсію заданої вибірки (див. табл. 14.3).
Таблиця 14.3
Вихідні дані до задачі 14.3
|
18,6 |
19 |
19,4 |
19,8 |
20,2 |
20,6 |
|
4 |
6 |
30 |
40 |
18 |
2 |
14.4. Знайти вибіркові середню та дисперсію заданої вибірки (див. табл. 14.4, 14.5 та 14.6).
а)
Таблиця 14.4
Вихідні дані до задачі 14.4
|
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
22 |
|
5 |
15 |
50 |
16 |
10 |
4 |
б)
Таблиця 14.5
Вихідні дані до задачі 14.4
|
65 |
70 |
75 |
80 |
85 |
|
2 |
5 |
25 |
15 |
3 |
в) 2,30; 2,28; 2,29; 2,28; 2,30; 2,28; 2,32; 2,29; 2,31; 2,32; 2,31; 2,30; 2,32; 2,30; 2,31; 2,30; 2,284 2,29; 2,28; 2,30; 2,28; 2,32; 2,29; 2,31; 2,32; 2,31; 2,30; 2,32; 2,30; 2,31.
г)
Таблиця 14.6
Вихідні дані до задачі 14.4
|
7,14 |
7,221 |
7,28 |
7,35 |
7,42 |
7,49 |
7,56 |
7,63 |
|
2 |
9 |
24 |
43 |
51 |
37 |
25 |
8 |
14.5. За даним інтервальним статистичним розподілом вибірки, в якому наведено розподіл маси новонароджених (див. табл. 14.7). Обчислити вибіркові характеристики.
Таблиця 14.7
Вихідні дані до задачі 14.5
|
2-2,2 |
2,2-2,4 |
2,4-2,6 |
2,6-2,8 |
2,8-3 |
3-3,2 |
3,2-3,4 |
3,4-3,6 |
|
5 |
12 |
18 |
22 |
36 |
24 |
19 |
15 |
14.6. Із генеральної сукупності взята вибірка об’ємом п = 50 (див. табл. 14.8).
Таблиця 14.8
Вихідні дані до задачі 14.6
|
2 |
5 |
7 |
10 |
|
16 |
12 |
8 |
14 |
Знайти незміщену оцінку генеральної середньої.
14.7. Із генеральної сукупності взята вибірка об’ємом п = 60 (див. табл. 14.9). Знайти незміщену оцінку генеральної середньої.
Таблиця 14.9
Вихідні дані до задачі 14.7
|
1 |
3 |
6 |
26 |
|
8 |
40 |
10 |
2 |
14.8. Дано розподіл початкових варіант вибірки об’ємом п (див. табл. 14.10).
Таблиця 14.10
Вихідні дані до задачі 14.8
|
|
|
... |
|
|
|
|
... |
|
Довести, що , де умовні варіанти .
14.9. Знайти вибіркову середню за даним розподілом вибірки об’ємом п = 10 (див. табл. 14.11).
Таблиця 14.11
Вихідні дані до задачі 14.9
|
1250 |
1270 |
1280 |
|
2 |
5 |
3 |
14.10. Знайти вибіркову середню за даним розподілом вибірки об’ємом п =20 (див. табл. 14.12).
Таблиця 14.12
Вихідні дані до задачі 14.10
|
2560 |
2600 |
2620 |
2650 |
2700 |
|
2 |
3 |
10 |
4 |
1 |
14.11.
По вибірці об’ємом п
= 51 знайдена
зміщена оцінка
генеральної дисперсії. Знайти незміщену
оцінку дисперсії генеральної сукупності.
14.12. В результаті п’яти вимірів довжини стержня одним прибором (без систематичних помилок) отримали такі результати (в мм): 92, 94, 103, 105, 106. Знайти:
а) вибіркову середню довжини стержня;
б) вибіркову і виправлену дисперсії похибок пристрою.
14.13. В результаті чотирьох вимірювань деякої фізичної величини одним прибором (без систематичних помилок) отримали такі результати: 8, 9, 11, 12. Знайти:
а) вибіркову середню результатів вимірювань;
б) вибіркову та виправлену дисперсії похибок пристрою.
14.14.Знайти виправлену дисперсію за даним розподілом вибірки об’ємом п=10 (див. табл. 14.13).
Таблиця 14.13
Вихідні дані до задачі 14.14
|
186 |
192 |
194 |
|
2 |
5 |
3 |
14.15. Знайти вибіркову середню та дисперсію, виправлені дисперсію та середньоквадратичне відхилення за даним розподілом вибірки об’ємом п=100 (див. табл. 14.14).
Таблиця 14.14
Вихідні дані до задачі 14.15
|
340 |
360 |
375 |
380 |
|
20 |
50 |
18 |
12 |
14.16 .Знайти виправлену вибіркову дисперсію за даним розподілом вибірки об’ємом п = 10, використовуючи умовні варіанти (див. табл. 14.15).
Таблиця 14.15
Вихідні дані до задачі 14.16
|
102 |
104 |
108 |
|
2 |
3 |
5 |
14.17. Знайти виправлену вибіркову дисперсію та коефіцієнт варіації за даним розподілом вибірки об’ємом п = 100 (див. табл. 14.16).
Таблиця 14.16
Вихідні дані до задачі 14.17
|
1250 |
1275 |
1280 |
1300 |
|
20 |
25 |
50 |
5 |
14.18. Знайти виправлену вибіркову дисперсію та коефіцієнт варіації за даним розподілом вибірки об’ємом п = 10 (див. табл. 14.17).
Таблиця 14.17
Вихідні дані до задачі 14.18
|
0,01 |
0,05 |
0,09 |
|
2 |
3 |
5 |
14.19. Знайти виправлену вибіркову дисперсію за даним розподілом вибірки об’ємом п=20, (використовуючи умовні варіанти) (див. табл. 14.18).
Таблиця 14.18
Вихідні дані до задачі 14.19
|
0,1 |
0,5 |
0,7 |
0,9 |
|
6 |
12 |
1 |
1 |
14.20. Знайти виправлену вибіркову дисперсію за даним розподілом вибірки об’ємом п = 10, (використовуючи умовні варіанти) (див. табл. 14.19).
Таблиця 14.19
Вихідні дані до задачі 14.20
|
23,5 |
6,1 |
28,2 |
30,4 |
|
2 |
3 |
4 |
1 |