Программа курса

Математический анализ

1. Введение в анализ

Элементы теории множеств. Операции над множествами.

Действительные и комплексные числа. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.

Понятие функции. Основные свойства функции. Основные элементарные функции: степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая.

Классификация функций. Преобразование графиков. Применение функций в экономике.

2. Пределы и непрерывность

Предел числовой последовательности. Предел функции в бесконечности и в точке.

Бесконечно малые величины. Свойства бесконечно малых величин. Бесконечно большие величины и их свойства. Основные теоремы о пределах. Признаки существования пределов. Замечательные пределы.

Непрерывность функции. Свойства непрерывной функции. Классификация точек разрыва.

3. Дифференциальное исчисление

Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Схема вычисления производной. Основные правила дифференцирования.

Производная сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций. Производная высших порядков. Экономический смысл производной.

Приложения производной. Основные теоремы дифференциального исчисления. Экстремум функции. Наибольшее значение функции на отрезке. Выпуклость функции. Точки перегиба. Общая схема исследования функции и построения графиков.

Дифференциал функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Дифференциал высших порядков.

4. Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных: основные понятия. Предел и непрерывность. Дифференциал функции. Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции.

5. Интегральное исчисление

Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Интегралы от основных элементарных функций. Методы интегрирования: замены переменной, интегрирование по частям. Интегрирование простейших рациональных дробей и тригонометрических функций.

Определенный интеграл и его геометрический смысл. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенных интегралов.

Основы линейной алгебры и аналитической геометрии

6. Аналитическая геометрия на плоскости

Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов.

Прямая на плоскости. Взаимное расположение двух прямых. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Кривые второго порядка. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы.

7. Линейная алгебра

Матрицы и операции над ними. Определители квадратных матриц.

Свойства определителей. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Ранг матрицы и его свойства.

Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения. Теорема Крамера (система n-линейных уравнений с n- переменными). Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Системы линейных однородных уравнений.

Векторы на плоскости и в пространстве. N- мерный вектор и векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.