Задания II этапа республиканской олимпиады школьников по математике 2005 год

10 Класс

1. Однажды улитка заползла на вершину бамбука, который растет так, что каждая точка его стебля поднимается вверх с одной и той же скоростью. На это улитка затратила 7 часов. Отдохнув на вершине бамбука ровно 1 час, улитка за 8 часов спустилась на землю. Определите, во сколько раз скорость улитки больше скорости бамбука, если обе скорости постоянны.

(6 баллов)

2. В некоторой компании 100 акционеров, причем любые 66 из них владеют не менее чем 50% акций компании. Каким наибольшим процентом всех акций может владеть акционер?

(9 баллов)

3. Пусть xyz=1 и , , . Докажите, что если abc – целое число, то и a²+b²+c² является целым числом.

(8 баллов)

4. Решите уравнение ( – целая часть ).

(7 баллов)

5. На стороне ВС квадрата ABCЕ выбрана отличная от вершины точка М и через нее проведена прямая, которая пересекает диагональ АС и прямую АВ в точках Т и Р соответственно. Известно, что МТ=ЕТ. Найдите величину угла MPЕ.

(10 баллов)

Задания II этапа республиканской олимпиады школьников по математике 2005 год

11 Класс

1. Футбольные матчи между командами «Зубило», «Дробило», «Молотило» оказались результативными. Команда «Зубило» в сумме забила 60 голов, «Дробило» пропустила 80, «Молотило» забила столько же, сколько пропустила. Докажите, что в матче «Дробило»-«Молотило» было забито не менее 40 голов.

(9 баллов)

2. Известно, что многочлен

принимает целые значения при всех целых значениях х. Может ли оказаться, что ?

(6 баллов)

3. Функция f(x) определена для всех действительных х, и для всех значений х верны неравенства:

f(x+3)  f(x)+3 и f(x+2)  f(x)+2.

Докажите, что функция g(х)=f(x)–х – периодическая.

(8 баллов)

4. Цилиндр и конус имеют общее основание и пересекаются. Найдите объем их общей части, если объем каждого тела равен 27.

(7 баллов)

5. Есть лампочка и 10 пронумерованных кнопок. Известно, что ровно пять из этих кнопок действующие. За одну попытку разрешается одновременно нажать любые три кнопки. Если хотя бы одна из нажимаемых кнопок действующая, то лампочка загорается. Как при помощи не более 9 проверок выяснить, является ли кнопка № 1 действующей?

(10 баллов)

Ответы, указания, решения

VII класс

1. Ответ: лошади выпили равное количество воды.

Решение.

1) – такую часть воды из бака выпила гнедая лошадь,

2) – такую часть воды из бака выпила вороная лошадь.

2. Ответ: 1111+888+6=2005.

3. Ответ: 8 внуков.

Решение. Замечаем, что яблоко «стоит» 2 конфеты, апельсин – 4 конфеты, шоколадка – 7 конфет, книга – 14 конфет. Значит, «цена» подарка равна 1+2+4+7+14=28 (конфет). Следовательно, внуков у дедушки 224:28=8.

4. Ответ: хватит.

Решение. Одно из возможных решений показано на рисунке.

5. Ответ: «Нет».

Решение. Если предположить, что первый мальчик сказал правду, то оказывается, что все трое правдивы, а второй мальчик солгал, т.е. получаем противоречие. Значит, первый мальчик лжец, а второй сказал правду.

Предполагая, что третий мальчик всегда говорит правду, получаем, что первый ученик сказал правду, т.е. получаем противоречие. Значит, третий мальчик – лжец, т.е. он солгал и ответил: «Нет».