Задания II этапа республиканской олимпиады школьников по математике 2005 год

VIII класс

1. Натуральные числа А и В таковы, что их наименьшее общее кратное в 8 раз больше их наибольшего общего делителя. Докажите, что А=8В или В=8А.

(8 баллов)

2. Компания ОГОГО обещает на каждый вложенный рубль через 10 лет выплатить 20052005200520062006 рублей, а компания ОХОХО – 20062006200620052005 рублей. В какую компанию выгоднее вложить деньги?

(6 баллов)

3. Имеются 10 арбузов и весы, с помощью которых за одно взвешивание можно определить общую массу любых трех арбузов. Как за шесть таких взвешиваний определить общую массу всех арбузов?

(9 баллов)

4. Пять прямых на рисунке пересекаются в одной точке. Известно, что 1=50°, 2=3=20°, 4 вдвое больше 5. Найдите величину угла 5.

2

5

4 1

3

(7 баллов)

5. В ящике у Карлсона лежат шоколадные конфеты трех сортов: с ромом, с орехами и с мармеладом. Карлсон утверждает, что, какие бы сто конфет ни вынуть из ящика, среди них обязательно окажется и конфета с ромом, и конфета с орехами. Какое наибольшее число конфет может быть у Карлсона в ящике?

(10 баллов)

Задания II этапа республиканской олимпиады школьников по математике 2005 год

8 (Iх) класс

1. Коля написал на доске несколько целых чисел, Саша записала под каждым Колиным числом его квадрат, а Лена сложила все написанные на доске числа и получила 2005. Докажите, что кто–то из девочек ошибся.

(9 баллов)

2. Имеются 11 арбузов и весы, с помощью которых за одно взвешивание можно определить общую массу любых трех арбузов. Как за шесть таких взвешиваний определить общую массу всех арбузов?

(10 баллов)

3. Решите арифметический ребус

,

в котором одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами – разные цифры.

(8 баллов)

4. Докажите, что треугольник, у которого две медианы равны и пересекаются под прямым углом, является равнобедренным.

(6 баллов)

5. В городе Глупове каждый житель – полицейский, вор или обыватель. Полицейские всегда врут обывателям, воры – полицейским, обыватели – ворам, а во всех остальных случаях жители Глупова говорят друг другу правду. Однажды несколько глуповцев разговаривали, стоя по кругу, и каждый сказал своему соседу: «Я – полицейский». Сколько обывателей было среди этих жителей города?

(7 баллов)

Задания II этапа республиканской олимпиады школьников по математике 2005 год

9 Класс

1. Имеется линейка без делений длины 13 см. Сколько промежуточных делений и как нужно нанести на линейку, чтобы ею можно было измерить расстояния от 1 см, 2 см, …, 13 см? Какое число делений наименьшее?

(6 баллов)

2. Пусть , причем , , . Найдите значение выражения .

(8 баллов)

3. Сколько корней имеет квадратное уравнение x²+px+q=0, если известно, что p–q>1?

(7 баллов)

4. Диагонали выпуклого четырехугольника АВСD пересекаются в точке О. Точка М на отрезке АО и точка Р на отрезке DО таковы, что ВМСD и СРАВ. Докажите, что МРАD.

(10 баллов)

5. Найдите углы равнобедренного треугольника АВС, если известно, что сумма углов АВВ₁ и ВАА₁ равна 60, где А₁ и В₁ – середины сторон ВС и АС соответственно.

(9 баллов)