5 Побудова трьох проекцій основних геометричних тіл
5.1 Пряма п’ятикутна призма (рис. 11) – це геометричне тіло з проектуючою поверхнею, так як усі її бокові грані є горизонтально проектуючими площинами, а площини нижньої та верхньої основи перпендикулярні до фронтальної площини проекцій П2. Таким чином, проекції бокових граней призми на площину П2 – це прямі, а ребер – точки. Це треба враховувати під час побудови проекцій точок і ліній на поверхню призми.
Вихідним положенням (рис. 11) для знаходження відсутньої проекції буде фронтальна проекція лінії на боковій поверхні призми 12 22 32 42 52 62 12.
Під час побудови горизонтальної і профільної проекцій лінії 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1 враховувалось правило належності точки і прямої, точки і площини і, перед усім, проекційний зв’язок між трьома проекціями.
Як видно з рисунка, точки 1, 2, 4, 5, 6 знаходяться на ребрах (прямих), а точки А і 3 – на гранях призми.
Рисунок 11 – Побудова лінії на поверхні призми
5.2 Прямий круговий циліндр і лінія на його боковій поверхні зображені на рис. 12. Бокова поверхня циліндра є горизонтально-проектуючою і проектується на площину п1 в коло.
За заданою проекцією циліндра і лінії на його поверхні (рис. 12) побудовані відсутні горизонтальна і профільна проекції.
Під час побудови спочатку визначають горизонтальну проекцію самого циліндра. Далі на горизонтальній проекції циліндра (на колі) знаходять горизонтальну проекцію лінії, враховуючи видимість по її фронтальній проекції. Для побудови профільної проекції лінії знаходять профільні проекції всіх відповідних точок, що розбивають лінію на окремі ділянки, враховуючи знову ж таки видимість і проекційний зв’язок між проекціями.
На рис. 12 видно, що ділянка лінії 1 – 2 співпадає з твірною циліндра, тому на фронтальній і профільній проекціях зображується прямою лінією, а лінія 2 – 5 на профільній проекції зображується частиною еліптичної кривої, бо знаходиться на кривій поверхні і не співпадає з твірною.
Аналогічно треба міркувати щодо ділянки лінії 5 -6 -7 -8. Для знаходження відсутньої (профільної) проекції кривої лінії на поверхні циліндра відмічають проміжні точки кривої і обов’язково характерні, що знаходяться на осьових лініях і обрисових твірних, бо такі точки служать перехідними видимості лінії на відсутніх проекціях. На рис. 12 – це точки 3, 5, 7.
Рисунок 12 – Побудова лінії на поверхні циліндра
5.3 На рис. 13 зображено три проекції прямої трьохгранної піраміди і лінії на її боковій поверхні. В цілому піраміда, як і конус, і сфера (куля) є поверхнею „загального” положення, бо її бокова поверхня ні на одну з площин проекцій (П1, П2, П3) не проектується в одну лінію, так як дві бокові грані піраміди – це площини загального положення. Внаслідок цього знайти точки і лінії на таких поверхнях набагато складніше, ніж на проектуючих.
Тому перш за все слід керуватися умовою належності точки і площини (поверхні): точка належить площині (поверхні), якщо вона знаходиться на лінії, що належить даній площині (поверхні).
На рис. 13 вихідною було задано горизонтальну проекцію тригранної піраміди і лінії на її боковій поверхні.
Далі будувалися фронтальна і профільна проекції самої піраміди, потім фронтальна і профільна проекції лінії 1-4. Для побудови фронтальної проекції кривої 1-3 вибрана проміжна точка 2, через яку була проведена допоміжна твірна SA. Якщо 2 ∊ SА, то 21 ∊ S1 A1 і S2 ∊ S2A2 . Точки 1 і 3 знаходяться на ребрах, відповідно SВ і SC, тоді 12 ∊ S2B2 і будується за допомогою лінії зв’язку. Другий варіант побудови 22 можна було виконати так, як це показано для точки 3: за допомогою лінії рівня (горизонталі h) грані BSC - 1 - 3 (12 32 ⃦ B2 C2; 11 31 ⃦ В1 С1).
Маючи дві проекції лінії на поверхні піраміди, будують профільну (рис. 13), позначаючи невидиму частину лінії штрихпунктиром.
Рисунок 13 – Побудова лінії на поверхні піраміди
5.4 Прямий круговий конус і лінія на його поверхні зображені на рис. 14. Як було сказано вище, конус – це поверхня “загального” положення, тому всі міркування відносно піраміди залишаються справедливими і для нього. За заданою фронтальною проекцією конуса і лінії на ньому було побудовано дві відсутні проекції. При цьому дотримувалось ще одне правило нарисної геометрії: у паралельних ліній однойменні проекції паралельні. Так, фронтальна проекція частини лінії на поверхні конуса 12 22 ⃦ m2, де фронтальна проекція основи конуса m2 – коло, тому 1121 ⃦ m1 також є частиною кола, концентричного колу основи. Радіус дуги 1121 дорівнює величині 1222 (від центра обрису). Фронтальна проекція частини лінії 22-52 зображена прямою видимою лінією. Ця лінія є частиною еліптичної кривої, тому для одержання горизонтальної проекції цієї лінії необхідно обрати на ній додаткові проміжні точки: 3, 4. Тоді для побудови горизонтальних проекцій точок цієї ділянки маємо: точка 2 знаходиться на обрисовій твірній, її горизонтальна проекція будується за допомогою лінії зв’язку.
Точки 3 і 4 побудовані за допомогою горизонталей, а точка 5 – за допомогою твірної SA. Проекції цих точок знаходяться на відповідних проекціях допоміжних ліній. На горизонтальній проекції вся задана лінія є видимою. За горизонтальною і фронтальною проекціями побудована профільна проекція лінії 1-5 і визначена видимість для цієї проекції (рис. 14).
Рисунок 14 – Побудова лінії на поверхні конуса
5.5 Три проекції кулі і лінії на її поверхні зображені на рис. 15. У даному прикладі вихідною була задана фронтальна проекція. При побудові проекцій точок лінії, що знаходиться на колі, перш за все контролюється вираз “вісь – обрис”. Так, фронтальна проекція обрису кулі m2 на горизонтальній і профільній проекції кулі зображується осями m1 і m3. Отже, проекції А2 , Д2, які належать обрису m2, проецюють на осі m1 і m3; проекції В2, Е2, які належать осі ℓ2 , проецюють на вісь ℓ1 і обрис ℓ3; проекції F2, С2, які належать осі N2, проецюють на обрис N1 і вісь N3.
Якщо точка не лежить на осі або обрисі, то її проекції знаходять за допомогою паралелей (горизонталей) і фронталей, що проходять через шукану точку і належать поверхні кулі. Такими точками у даному випадку є точки P, N. Побудову горизонтальної і фронтальної проекцій лінії на кулі наведено на рис. 15.
Рисунок 15 – Побудова лінії на поверхні кулі
5.6 Поширеними на практиці є поверхні, утворені колом або його частиною. Такі поверхні називають циклічними. Вони мають неперервний каркас кіл. Прикладом є тор. Поверхня тора утворюється під час обертання кола навколо осі, що лежить у площині кола, але не проходить через його центр. Три проекції тора і лінії на його поверхні зображено на рис. 16. У даному прикладі вихідною була задана горизонтальна проекція. Побудову недостатніх проекцій наведено графічно.
Рисунок 16 – Побудова лінії на поверхні тора