Обобщённая схема решения задачи оптимального распределения ресурсов.

Постановка задачи:

Пусть имеем ресурс в объёме K (капитал). Требуется распределить ограниченный ресурс К на m объектов ( ) за n этапов ( ).

В результате вложения x_ij (в iый объект на jом этапе) образуется доход, определяемый функцией g_ij (x_ij).

Учитывая необходимость амортизации, следует часть ресурса (от x_ij) не расходовать. Эта часть определяется функцией остатка f_ij(x_ij).

Требуется определить такое x_ij* вложение ресурсов на каждом этапе в каждый объект, чтобы общий доход со всех объектов по всем этапам был максимальным.

пз 12 19.11.08

Динамическое моделирование. Задача распределения ограниченных ресурсов по принципу Беллмана.

Простая задача распределения ресурсов:

Имеется два предприятия и имеется ресурс в размере К, который надо распределить между этими предприятиями так, чтобы общий доход между ними был максимальным. Известны функции дохода: I предприятие – , II предприятие – . К – однородный ресурс, R(K) – общий доход.

Рассматривается оценка выигрыша за один этап:

– модель одноэтапной оптимизации.

Пусть рассматривается вложение за два этапа (1 год + 1 год). Доход получается вследствие выпуска и реализации продукции за два этапа. Для решения задачи за два этапа нужно потребовать, или предположить, чтобы были известны остатки ресурсов после 1го этапа для 2го. Пусть часть средств ко 2му этапу для I предприятия – это α, для II предприятия – это β.

Для построения функционального уравнения оценки выигрыша за два этапа воспользуемся принципом Беллмана: 1ый шаг – оценка выигрыша на 2ом шаге.

R₁ – выигрыш за 1ый шаг, R₂(K, α, β) – выигрыш за 2ой шаг.

Распространим результат 2хэтапного (2хшагового) распределения на n-шаговый процесс. Будем считать для простоты, что доли заданы постоянно для всех этапов (α, β):

– определяется как функциональное уравнение.

В приложении к методу динамического программирования это выражение называется основным функциональным уравнением Беллмана (ОФУБ).

пз 13 26.11.08

Задача.

Оптимальное распределение ограниченного ресурса. В состав организации входят 4 СБЕ ( ), К = 200 тыс. руб. – однородный ресурс. Известны: количественная оценка прибыли , где ζ – размер вложенного ресурса. Исходные данные представлены в таблице. Требуется составить план распределения ограниченного однородного ресурса, максимизирующий общую прибыль.

i K, тыс.руб.	1	2	3	4
0	0	0	0	0
50	25	30	36	18
100	60	70	64	56
150	100	90	95	110
200	140	120	130	142

110 + 30 = 146 – оптимальный вариант (максимальная прибыль).

Напишем ОФУБ: общий выигрыш от четырёх предприятий:

h₄ – формула прибыли IV предприятия;

– прибыль от 3х предприятий (I, II, III);

h₃ – формула прибыли III предприятия;

– прибыль от 2х предприятий (I, II);

h₂ – формула прибыли II предприятия;

– прибыль от одного предприятия (I).

K = 0, 50, 150, 200.

P2	P3	P4
ζ = 0 или ζ = 50
ζ = 0, ζ = 50 или ζ = 100
ζ = 0, ζ = 50, ζ = 100 или ζ = 150
ζ = 0, ζ = 50, ζ = 100, ζ = 150 или ζ = 200

Результаты решения рекуррентных соотношений ОФУБ оформим в виде таблицы:

K	P1	P2	P3	P4
0	0	0	0	0
50	25	30	36	36
100	60	70	70	70
150	100	100	106	110
200	140	140	140	146

– это означает, что IVму предприятию при максимальной прибыли выделили 150 ед. К, а оставшимся трём – 50 ед. К.

– это означает, что IIIму предприятию при максимальной прибыли выделили 50 ед. К, а Iму и IIму ничего не выделили.

Итак, оптимальное распределение ограниченного ресурса в объёме единиц К = 200 тыс. руб., т.е. К*: 200 = 0 + 0 + 50 + 150, при этом максимальная прибыль составляет 146 ед.

Задача исчерпана.

пз 14 03.12.08