Устойчивость – к вопросу о геометрической интерпретации (схематично).

Определено МДР(OABCD) Х в плоскости свободных переменных (товарных выпусков).

Известно, что решение (если оно существует) имеет место, хотя бы в одной из вершин Х. Определяя для каждой из вершин значение дохода, выберем ту вершину, которая доставляет нам максимум дохода. Эта вершина и есть оптимальное решение:

Определить x* можно и градиентным методом: строится линия постоянного уровня дохода: .

Формула дохода: . Строится линия уровня: т. , которая делит МДР на две части – в одной части R > 16,8, в другой R < 16,8.

1 т. , 2 т. . Линия уровня пройдёт через эти точки.

Поскольку все линии уровня параллельны между собой, то направление наискорейшего роста – это перпендикуляр, отмеченный стрелкой. Перемещаясь параллельно, она последовательно пройдёт через вершины C, D, A, и B, а когда достигнет точку С – это и будет максимум → оптимум находится в точке С.

Вывод:

Пусть цена на продукт А увеличивается (P_A↑), тогда линия уровня идёт налево по часовой стрелке. Когда-нибудь найдётся такая цена P = отрезку CD.

Параметрический анализ решения.

Это очень распространённый метод.

Ставится задача: наилучшая организация производства по определённому критерию. Известны технологии (ВнСО), возможности (ВСО), цены.

Нужно себя адаптировать так, чтобы исходя из условий ВСО и ВнСО, получить оптимальное решение (наилучший результат).

Решение:

Пусть построена модель, получено решение. Возникает вопрос: как меняется оптимальное решение и целевая функция в зависимости от изменения параметров МЭС? ВСО не меняется, меняются во времени параметры целевой функции.

Возникает задача:

Требуется определить такое оптимальное решение

x*(t) (1)

при котором

(2)

при условии, что МДР

X: (3)

(4)

(5)

Известны коэффициенты условной функции R_i(t), в частности задана линейная аппроксимация: .

Алгоритм решения:

Пусть решение существует.

Порядок решения:

1. Имеем модель (1)-(5), в которой целевая функция (2) максимальна при каждом . Конкретно задаём t = 0, решаем (1)-(4) при t = 0. Находим x*(0), определяем множество значений , при которых x*(0) является оптимальным на отрезке [0; T].

2. Задаём значения T₁ + ∆t (∆t < T₁).

3. Находим x*(T₁ + ∆t), определяем отрезок [T1; T2], в пределах которого x*(T₁ + ∆t) сохраняет оптимальное значение и т.д.

Задача. (пример параметрического анализа)

Организация производит 2 вида продукта А и В, используя 3 вида ресурсов: труд (Т), капитал (К), деньги (Д). Известны технологии, возможности и изменение цен на продукцию. .

Исходные данные:

Выпуск Затраты	A	B	Запас ресурсов
Т (L)	4	1	16
K (K)	2	2	22	Оптимальное решение при t = 0
Д (M)	6	3	36
P	2 + t	13 - t	-

Решение:

Критерий – максимум дохода.

Модель:

Требуется определить такое

x*(t) (1)

при котором

(2)

при условии, что МДР

X: (3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Это ЗЛП. Для решения ЗЛП должна быть приведена к ОЗЛП. Заметим, что МДР (3)-(6) не изменяется во времени. Во времени меняются лишь параметры целевой функции. Это означает, что для всего временного отрезка МДР будет одно и то же. МДР можно определить геометрически в плоскости двух свободных переменных – товарных выпусков.

Приведём задачу к основной, введя дополнительные неотрицательные переменные: ,

(8)

Тогда модель (3)-(5) с учётом (8) будет записана для ОЗЛП в виде:

(9)

(10)

(11)

Итак, имеем ОЗЛП: (1), (2), (9), (10), (11), (6), (8), (7). Теперь её можно решать.

пз 9 29.10.08

Задаём t = 0 (в соответствии с общими рекомендациями), имеем (1),

(12)

(9)-(11) – 3 уравнения с 5ю неизвестными, они определяют МДР (9), (10), (11), (6), (8). Любые 2 можно взять в качестве свободных переменных (x_A, x_B – т.к. через них удобнее выразить базисные переменные – ).

Выражаем базисные переменные:

При внимательном просмотре исходных данных, решение при t = 0 тривиально: , при этом доход .

При t = 0 задачу можно формально решить геометрически в плоскости товарных выпусков :

По свободным переменным допустимое решение из условия (6) – это I четверть. Уточним МДР в I четверти по базисным переменным:

• Г раничные значения по труду – это прямая , которая делит I четверть на две части: в одной – неполное использование труда, в другой - недопустимое использование труда.

• Аналогично решаем по капиталу . Имеем четырёхугольник: .

• Уточняем по финансам . Получаем пятиугольник OABCD – МДР.

Пользуясь общим свойством решения ЗЛП: если x* существует, то оно реализуется хотя бы в одной из вершин МДР. Здесь вершин 4: A, B, C, D. Подставляя координаты этих вершин в целевую функцию, определяя максимум, мы определим x*. Если это проделать, то x* = A, что совпадает, конечно, с решением “внимательного” аналитика.

Здесь же можно проиллюстрировать поиск x* по алгоритму симплекс-метода – целенаправленный перебор, в основе его – градиентный метод поиска x*. При использовании градиентного метода применяется множество постоянного уровня в плоскости свободных переменных – поверхность уровня. В нашем двумерном случае поверхность уровня = это такие точки х, при которых R = const:

– в нашем плоском случае – это линия уровня, более того, это прямая линия. В нашем случае, поскольку это прямая, линии различных уровней параллельны одна другой.

Для определения x* задаём произвольно константу: const = 26, и тогда:

Линия уровня R = 26 делит наше МДР OABCD на две части: в одной R > 26, в другой R < 26, но все линии параллельны одна другой.

Определив направление роста, учитывая параллельность, однозначно получаем, что x* = A, т.е. метод проб и ошибок и градиентный метод дают одно и то же решение.

Результат получен как опорное решение при t = 0. Пусть t меняется . При росте t: .

Возьмём t = 10: .

Целевая функция: .

пз 10 05.11.08

Посмотрим исходные данные:

Выпуск Затраты	A	B	Запас ресурсов
Т (L)	4	1	16
K (K)	2	2	22
Д (M)	6	3	36
P	12	3	-

По технологиям, А-продукт по расходу проигрывает В-продукту:

В точке D производить продукт А невыгодно.

Существуют такие моменты времени, в которые целесообразно перейти из режима точки А в режим точки В и т.д. до точки D.

– множество постоянного уровня.

– полный расход капитального ресурса .

Условие параллельности: .

Любая точка отрезка AB будет x*, в т.ч. A и B, а как только t₁ станет больше 5,5, оптимальное решение перейдёт в точку В, пока не наступит момент t₂, когда х* будет принадлежать отрезку ВС и т.д.

Определим моменты перехода из одной вершины в другую:

Окончательный результат оформим в следующем виде:

пз 11 12.11.08