Принцип двойственности и модель разработки решения.

Задача.

Для производства трёх видов продуктов A, B, C используется 3 вида ресурсов Т, М, Ф. Известны запасы ресурсов и технологии, рыночные цены на продукты. Определить оптимальный выпуск по критерию наибольшего дохода и оценить каждый из видов ресурсов, используемых для производства, при условии достижения наибольшего дохода.

Исходные данные:

Выпуск Затраты	A	B	C	Запас, тыс. руб.
Т	4	2	1	180
М	3	1	3	210
Ф	1	2	5	244
P, тыс. руб/ед.	10	14	12	-

Решение:

– выпуск (решение);

– формула дохода;

Х – множество допустимых решений.

Модель решения по критерию наибольшего дохода:

Требуется определить оптимальный выпуск

(1)

при котором

(2)

при условии, что МДР

X: (3)

(4)

(5)

(6)

(1)-(6) – это ЗЛП, которая может быть решена симплексным методом.

Оптимальное решение:

;

Модель решения по первому критерию сформирована и получено оптимальное решение.

Рассмотрим вторую часть поставленной задачи: оценить ресурсы, используемые в производстве, при условии достижения наибольшего дохода, и заданных ограничениях по технологиям, запасам и ценам.

В такой постановке под решением будем понимать:

– оценку ресурсов (цену);

.

Модель решения оценки ресурсов:

Требуется определить такое

(7)

При котором

(8)

При условии, что МДР

Y: (9)

(10)

(11)

(12)

(7)-(12) – это ЗЛП, можно использовать для решения универсальный симплексный метод.

Оптимальное решение:

;

Мы видим, что на оптимальном решении (прибыль). Эта закономерность имела место в ПМЛ.

Пара моделей (1)-(6), (7)-(12) определяют пару прямых и обратных задач принципа двойственности.

Чисто формально:

1. Коэффициенты целевой функции (ЦФ) прямой ЗЛП (ПЗЛП) (1)-(7) – это константы ограничений обратной ЗЛП (ОбрЗЛП) (8)-(12) и наоборот.

2. Непрямые ограничения ПЗЛП (3)-(5) имеют знак “не больше” (≤) и наоборот – непрямые ограничения ОбрЗЛП (9)-(11) имеют знак “не меньше” (≥).

3. Технологические коэффициенты, входящие в ПЗЛП образуют матрицу прямых затрат. Эти же коэффициенты в ОбрЗЛП образуют матрицу, транспонированную к матрице прямых затрат.

Анализ: конкретное производство надо рассматривать с позиции решения прямой и обратной модели.

По результатам ОбрЗЛП: ресурсы Т и Ф используются полностью, а М-ресурс избыточен на нашем решении. Материальный ресурс недоиспользуется на

руб/ед. труда показывает, на сколько изменится доход в окрестности x* (на оптимальном решении), если количество труда увеличить на 1. В частности доход изменится на 5,75 ед.

• Т.о., если решить новую задачу максимизации дохода, где возможности , то в результате применения симплексного метода получим: использование ресурса М снизится на 0,125 ед. М, .

• Если снова решить новую задачу максимизации дохода , то доход R вырастет на 1,25 руб/ед. финансов,

при этом объём ресурса М вырастет на 0,625 ед. М,

Подставим компоненты y* в ограничения задачи на минимизацию:

Вывод:

Формально первое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. оценка ресурсов на производство единицы А-продукта (24,25) выше цены А-продукта, т.е. выпускать А-продукт невыгодно.

Рассмотрим прямую задачу – на максимизацию дохода: x_A = 0, т.е. продукт не выпускается.

Т.о. результаты максимизации и минимизации согласованы, т.е. из результатов ПЗЛП видим, что производство А-продукта не предусмотрено оптимальным решением.

пз 6 08.10.08