Устойчивость оптимального решения.

Производство выпускает 2 вида продукта: А и В.

Используется 3 вида ресурсов: Т, М, Ф.

Известно: цены на продукты, возможности (объём ресурсов), технологии.

Исходные данные:

Выпуск Затраты	A	B	Запас ресурсов
Т (L) (количество трудового ресурса, ед.)	40	25	1000
М (K)	35	28	980
Ф (m)	25	35	875
P, руб/ед.	1,2	1,4	-

Требуется:

1. Разработать наилучшее решение организации производства по критерию максимума дохода;

2. Оценить устойчивость данного решения к изменению параметров ВСО, в частности к изменению цены на А-продукт.

Модель решения:

Требуется определить такое оптимальное решение

(1)

при котором

(2)

при условии, что МДР

X: (3)

(4)

(5)

(6)

(1)-(6) – это ЗЛП, которая может быть решена симплексным методом.

Оптимальное решение: ; .

Для выяснения устойчивости к изменению цен, вспомним, что с ценами (параметрами ВСО) связана оценка ресурсов в единице продукта (по принципу двойственности).

Составим модель оценки и использования ресурсов по критерию минимума на основе принципа двойственности:

Требуется определить такое

(7)

При котором

(8)

При условии, что МДР

Y: (9)

(10)

(11)

(7)-(11) – это ЗЛП, которая может быть решена симплексным методом:

;

Проверим характер ограничений на оптимальном решении у*:

Т.е. ограничения в ОбрЗЛП (минимизация издержек) выполняются как уравнения: .

Если, в частности, цена на первый продукт будет меняться, то при этом для сохранения оптимального выпуска по критерию максимума дохода необходимо, чтобы ограничения ОбрЗЛП выполнялись как уравнения. При этом обязательно, чтобы . Итак, имеем систему условий:

.

Отсюда можно определить границы изменения P₁:

устойчивость решения будет иметь место.

Максимальное значение дохода будет меняться:

пз 7 15.10.08

Геометрическая интерпретация решения.

Рассмотрим модель (1)-(6). Непрямые ограничения – это (3)-(5), прямые – это (6). (3)-(6) определяют МДР Х, (3)-(5) приводят при симплексном или другом методе к основной ЗЛП (ОЗЛП):

(12)

(13)

(14)

(15)

Модель (1)-(2), (12)-(14), (6), (15) – это ОЗЛП, эквивалентная задаче (1)-(6).

имеют смысл остатков ресурсов L, K, M на решении x.

Решим задачу x* геометрически.

(3)-(5) – 3 уравнения с 5ю неизвестными → решений бесконечное множество, при этом 2 переменные (x_A и x_B) – свободные, а остальные 3 – базисные. Оптимум будем искать в плоскости свободных переменных. По свободным переменным (товарным выпускам) решение находится в I четверти.

Выразим базисные переменные через свободные:

.

Действует условие (15).

Уточним МДР по базисным переменным:

L: 1 т. , 2 т. K: 1 т. , 2 т. m: 1 т. , 2 т.

По L-ресурсу: прямая (полный расход) делит I четверть на 2 части: в одной , в другой . Аналогично по K и m ресурсам:

пз 8 22.10.08