1.1.12 Метод резолюции.

Метод использует тот факт, что если некоторая формула является невыполнимой, то наиболее сильное следствие этой формулы ‑ константа 0 (False).Предложенный в 1965 году Дж. Робинсоном метод резолюции позволяет получить максимально сильное следствие множества формул с помощью систематической процедуры последовательного построения логических следствий формулы, называемых резольвентами. Иными словами, метод резолюции обладает свойством полноты: для формулы А следствие False обязательно будет получено, если А ‑ невыполнима.

Теорема 5. Пусть , тогда .

Доказательство. На основании определения логического следствия , отсюда

.

Определение. Резольвентой двух дизъюнктов и называется дизъюнкт .

Теорема 6. Резольвента является логическим следствием порождающих её дизъюнктов.

Доказательство. Пусть и ‑ два дизъюнкта, тогда ‑ их резольвента. Покажем, что формула невыполнима. Так как

,

то ‑ невыполнима. По теореме 2 имеем:

.

Из теоремы вытекает правило резолюций:

или .

Предположим, что дана формула логики высказываний А. Как проверить общезначимость формулы А? Эта задача решается с помощью метода резолюций Дж. Робинсона, к изложению которого мы приступаем.

Очевидно, что |= А тогда и только тогда, когда невыполнима формула . Формулу приводим к конъюнктивной нормальной форме (КНФ):

.

Тем самым мы формируем множество дизъюнктов .

Два дизъюнкта этого множества и , содержащие контрарные литералы и , формируют третий дизъюнкт - резольвенту , в которой исключены контрарные литералы, т.е.

.

В частности, если , , то резольвента для них - это дизъюнкция, ничего не содержащая (отсутствуют и ). Ее называют пустой резольвентой и обозначают знаком  (или 0).

Неоднократно применяя правило получения резольвент к множеству дизъюнкт S, стремятся получить пустой дизъюнкт .

Наличие пустого дизъюнкта  свидетельствует о получении противоречия, поскольку пустая резольвента получается из двух противоречащих друг другу дизъюнктов и , каждый из которых логическое следствие формулы . Следовательно, формула невыполнима, что означает общезначимость формулы А.

Изложим по шагам

Алгоритм метода резолюций.

Шаг 1. Принять отрицание формулы А, т.е. .

Шаг 2. Привести формулу к конъюнктивной нормальной форме: .

Шаг 3. Выписать множество ее дизъюнктов: .

Шаг 4. Выполнить анализ пар множества S по правилу: если существуют дизъюнкты и , содержащие контрарные литералы и , то нужно соединить эту пару логической связкой дизъюнкции и сформировать новый дизъюнкт - резольвенту, исключив контрарные литералы и .

Шаг 5. Если в результате соединения дизъюнктов, содержащих контрарные литералы, будет получена пустая резольвента -  (или 0), то результат достигнут (доказательство подтвердило противоречие), в противном случае включить резольвенту в множество дизъюнктов S и перейти к шагу 4.

При реализации указанного алгоритма возможны три случая:

• Среди текущего множества дизъюнктов нет резольвируемых. Это означает, что формула А не является общезначимой.

• На каком-то шаге получается пустая резольвента. Формула А ‑ общезначима.

• Процесс не останавливается, т.е. множество дизъюнкт пополняется все новыми резольвентами, среди которых нет пустых. В таком случае нельзя ничего сказать об общезначимости формулы А.

Метод резолюций пригоден и для доказательства того, что формула В является логическим следствием формул , поскольку,

Для того чтобы «запустить» алгоритм метода резолюций, нужно воспользоваться тождеством

.

Следовательно, формула общезначима, если формула является невыполнимой. Далее применяем описанный по шагам метод резолюций к формуле .

Пример 1. Выяснить, является ли логически правильным следующее простое рассуждение. Студент пойдёт домой (p) или останется в университете (q). Он не останется в университете. Следовательно, студент пойдёт домой. (Буквами обозначены имеющиеся в этом рассуждении простые высказывания).

Решение. Запишем это рассуждение символически:

.

Имеем

и

.

Следовательно, .

Дизъюнкты удобно пронумеровать:

(1)

(2)

(3)

Резольвента для (1) и (2) ‑ дизъюнкт , т.е.

(1), (2) = (4)

Поэтому .

Резольвента для (3) и (4) ‑ дизъюнкт , т.е.

(3), (4) = 0 (5)

Следовательно,

Наличие пустой резольвенты говорит о том, что логическое следствие установлено.

Пример 2. Доказать, что .

Решение. Имеем

.

Следовательно,

и

S={ , , , }.

Дизъюнкты удобно пронумеровать:

(1)

(2)

(3)

(4)

Вычисляем, добавляя резольвенты.

(1), (4) = (5)

S={ , , , , }

(2), (4) = (6)

S={ , , , , , }

(3), (6) = (7)

S={ , , , , , , }

(5), (7) = 0 (8)

Конечное множество S={ , , , , , , , 0} содержит пустую резольвенту, следовательно, логическое следствие установлено.

Обычно промежуточные значения множества S не выписывают, а записывают только начальное и конечное значение этого множества. Решение оформляется так:

S={ , , , }.

(1)

(2)

(3)

(4)

(1), (4) = (5)

(2), (4) = (6)

(3), (6) = (7)

(5), (7) = 0 (8)

S={ , , , , , , , 0}  .

Пример 3. Доказать, что .

Решение. Имеем

и .

Множество

(1)

(2)

(1), (2) = (3)

.

Процесс останавливается. Пустой резольвенты нет. Формула не является логическим следствием формулы .