Тема 5. Лекция 5.

условная оптимизация.

Линейное программирование.

1. Пример постановки задачи оптимизации

2. Линейное программирование (ЛП)

   1. Постановка задачи линейного программирования

   2. Основные определения и теоремы

   3. Переход от одной формы задачи ЛП к другой

3. Методы решения задач нелинейного программирования. Геометрическая интерпретация

1. Пример постановки задачи оптимизации

Для изготовления 3-х видов изделий А, В и С используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия приведены в таблице.

Тип оборудования	Затраты времени (станко-ч.) на обработку одного изделия вида			Общий фонд рабочего времени
	А	В	С
Фрезерное	2	4	5	120
Токарное	1	8	6	280
Сварочное	7	4	5	240
Шлифовальное	4	6	7	360
Прибыль	10	14	12

Определить, сколько изделий и какого вида следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной. Составить математическую модель задачи.

Решение.

Пусть будет изготовлено Х₁ единиц изделия А

Х₂ единиц изделия В

Х₃ единиц изделия С.

Тогда при использовании фрезерного оборудования потребуется затратить 2Х₁ + 4Х₂ + 5Х₃ станко-часов.

Но по условию ограничения общего фонда времени

2Х₁ + 4Х₂ + 5Х₃  120.

Аналогично для токарного, сварочного и шлифовального оборудования:

Х₁ + 8Х₂ + 6Х₃  280

7Х₁ + 4Х₂ + 5Х₃  240

4Х₁ + 6Х₂ + 7Х₃  360

При этом, т.к. количество изготовляемых деталей не может быть отрицательным, то

Х₁  0, Х₂  0, Х₃  0.

Далее, если будет изготовлено Х₁ изделий А, Х₂ изделий В и Х₃ изделий С, то прибыль от их реализации составит

F = 10Х₁ + 14Х₂ + 12Х₃

Итак, мы получаем систему четырех линейных неравенств с тремя неизвестными (X_j (j = 1…3):

2Х₁ + 4Х₂ + 5Х₃  120

Х₁ + 8Х₂ + 6Х₃  280

7Х₁ + 6Х₂ + 7Х₃  360

Х₁  0, Х₂  0, Х₃  0.

и линейную функцию F = 10Х₁ + 14Х₂ + 12Х₃ относительно этих же переменных.

Требуется среди всех неотрицательных решений системы неравенств найти такое, при котором целевая функция F принимает максимальное значение.

2. Линейное программирование

2.1. Постановка задачи линейного программирования

Найти оптимум (наибольшее или наименьшее значение) целевой функции (линейной формы)

на области допустимых значений системы ограничений

при наличии дополнительных условий неотрицательности переменных

х_j  0, j = 1,…, n.

Если в системе ограничений l = m, т.е. она состоит только из уравнений, то соответствующая форма записи называется канонической.

2.2. Основные определения и теоремы

2.2.1. Определения

1. Функция F(X) (1) называется целевой функцией, или линейной формой задачи, а условия (2) – (4) – ограничениями данной задачи.

2. Стандартной (или симметричной) задачей ЛП является задача, которая состоит в определении максимального значения функции F(X) при выполнении условий (3), (4).

3. Канонической или основной задачей ЛП называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции F при выполнении условий (2), (4).

4. Совокупность чисел Х(х₁ х₂,…х_n), удовлетворяющая ограничениям задачи (1) – (4) называется допустимым решением, или планом.

5. План Х*(х*₁ х*₂,…х*_n), при котором целевая функция задачи принимает максимальное значение, называется оптимальным.

Свойства основной задачи ЛП тесно связаны со свойствами так называемых выпуклых множеств.

Рассмотрим (без доказательства) отражающие свойства основной задачи ЛП, теоремы, предварительно записав ряд определений.

Определение 1. Пусть х₁ х₂,…х_n – произвольные точки евклидова пространства. Выпуклой линейной комбинацией этих точек называется сумма

₁х₁ + ₂ х₂ +... _{n } х_n,

где  - произвольные неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Определение 2. Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и их произвольную выпуклую линейную комбинацию.

Определение 3. Непустое множество планов основной задачи ЛП называется многогранником решений, а всякая угловая точка многогранника – вершиной.

Совокупность вершин многогранников решений называется опорным планом.