Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по САиПР / Тема 5.Лекция 5_ЛП.doc
Скачиваний:
41
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
173.06 Кб
Скачать

Тема 5. Лекция 5.

условная оптимизация.

Линейное программирование.

  1. Пример постановки задачи оптимизации

  2. Линейное программирование (ЛП)

    1. Постановка задачи линейного программирования

    2. Основные определения и теоремы

    3. Переход от одной формы задачи ЛП к другой

3. Методы решения задач нелинейного программирования. Геометрическая интерпретация

1. Пример постановки задачи оптимизации

Для изготовления 3-х видов изделий А, В и С используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия приведены в таблице.

Тип оборудования

Затраты времени (станко-ч.) на обработку одного изделия вида

Общий фонд рабочего времени

А

В

С

Фрезерное

2

4

5

120

Токарное

1

8

6

280

Сварочное

7

4

5

240

Шлифовальное

4

6

7

360

Прибыль

10

14

12

Определить, сколько изделий и какого вида следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной. Составить математическую модель задачи.

Решение.

Пусть будет изготовлено Х1единиц изделия А

Х2единиц изделия В

Х3единиц изделия С.

Тогда при использовании фрезерного оборудования потребуется затратить 2Х1+ 4Х2 + 5Х3станко-часов.

Но по условию ограничения общего фонда времени

1+ 4Х2 + 5Х3120.

Аналогично для токарного, сварочного и шлифовального оборудования:

Х1+ 8Х2+ 6Х3280

1+ 4Х2+ 5Х3240

1+ 6Х2+ 7Х3360

При этом, т.к. количество изготовляемых деталей не может быть отрицательным, то

Х10, Х20, Х30.

Далее, если будет изготовлено Х1изделий А, Х2изделий В и Х3изделий С, то прибыль от их реализации составит

F= 10Х1+ 14Х2+ 12Х3

Итак, мы получаем систему четырех линейных неравенств с тремя неизвестными (Xj(j= 1…3):

1+ 4Х2+ 5Х3120

Х1+ 8Х2+ 6Х3280

1+ 6Х2+ 7Х3360

Х10, Х20, Х30.

и линейную функцию F= 10Х1+ 14Х2+ 12Х3 относительно этих же переменных.

Требуется среди всех неотрицательных решений системы неравенств найти такое, при котором целевая функция F принимает максимальное значение.

2. Линейное программирование

2.1. Постановка задачи линейного программирования

Найти оптимум (наибольшее или наименьшее значение) целевой функции (линейной формы)

на области допустимых значений системы ограничений

при наличии дополнительных условий неотрицательности переменных

хj 0, j = 1,…, n.

Если в системе ограничений l = m, т.е. она состоит только из уравнений, то соответствующая форма записи называется канонической.

2.2. Основные определения и теоремы

2.2.1. Определения

  1. Функция F(X) (1) называется целевой функцией, или линейной формой задачи, а условия (2) – (4) – ограничениями данной задачи.

  2. Стандартной (или симметричной) задачей ЛП является задача, которая состоит в определении максимального значения функции F(X) при выполнении условий (3), (4).

  3. Канонической или основной задачей ЛП называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции Fпри выполнении условий (2), (4).

  4. Совокупность чисел Х(х1х2,…хn), удовлетворяющая ограничениям задачи (1) – (4) называется допустимым решением, илипланом.

  5. План Х*(х*1х*2,…х*n), при котором целевая функция задачи принимает максимальное значение, называетсяоптимальным.

Свойства основной задачи ЛП тесно связаны со свойствами так называемых выпуклых множеств.

Рассмотрим (без доказательства) отражающие свойства основной задачи ЛП, теоремы, предварительно записав ряд определений.

Определение 1.Пусть х1х2,…хn– произвольные точки евклидова пространства. Выпуклой линейной комбинациейэтих точек называется сумма

1х1+2х2+...n хn,

где - произвольные неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Определение 2. Множество называетсявыпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и их произвольную выпуклую линейную комбинацию.

Определение 3.Непустое множество планов основной задачи ЛП называетсямногогранником решений, а всякая угловая точка многогранника –вершиной.

Совокупность вершин многогранников решений называется опорным планом.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.