Тема 6. Лекция 7.
ВЫБОР АЛЬТЕРНАТИВ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ
Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной
Условная максимизация
Поиск альтернативы с заданными свойствами
Нахождение множества Парето
Задача отыскания оптимального решения х*, соответствующего максимуму целевой функции часто оказывается сложной для решения. Метод решения определяется самим характером множества Х (размерностью вектора Х и типом, т.е. является ли множество конечным, континуальным или счетным), а также характером критерия: функционал или функция, какая именно (линейная, нелинейная и т.п.).
Выбор в условиях нескольких критериев. Сложность отыскания наилучшей альтернативы возрастает, когда необходимо рассматривать альтернативы не по одному, а по нескольким критериям, качественно различающимся между собой. Например, выбор конструкции самолета предполагает учет многих критериев (технических - высота, скорость, маневренность, грузоподъемность), безопасности полетов, технологических, экологических, экономических, эргономических. В обыденной жизни - выбор подарка, выбор места для стоянки в турпоходе.
Итак, пусть для оценивания альтернатив используется несколько критериев qi(x), i= 1,2,3...,р. Теоретически можно представить себе случай, когда во множестве Х окажется одна альтернатива, обладающая наибольшими значениями р всех критериев; она и является наилучшей. Однако на практике такие случаи почти не встречаются, и возникает вопрос, как осуществлять выбор (например, на рис. 1 множеству Х соответствуют внутренние точки фигуры на плоскости значений двух критериев q1 и q2; оба критерия желательно максимизировать).
Существует несколько способов выбора альтернатив в условиях нескольких критериев. К ним, в частности, относятся такие как
сведение многокритериальной задачи к однокритериальной
условная максимизация
поиск альтернативы с заданными свойствами
нахождения множества Парето.
1. Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной
Этот способ состоит в введении некоего суперкритерия, т.е. скалярной функции векторного аргумента и называется также линейной сверткой:
q0(x)=q0(q1(x),q2(x),…qp(x)) (1)
Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине , выделив тем самым наилучшую (по этому критерию) альтернативу. Вид функции определяется те, как мы представляет себе вклад каждого критерия в суперкритерий. Обычно при этом используются аддитивные или мультипликативные функции:
q0(x) = (2)
1-q0(x) = (3)
Коэффициенты Si обеспечивают, во-первых, безразмерность числа qi(x)/Si, так как частные критерии могут иметь различную размерность и тогда некоторые арифметические операции, например, сложение, могут не иметь смысла. Во-вторых, в необходимых случаях c их помощью выполняется условие нормировки. Коэффициенты i, i отражают относительный вклад частных критериев в суперкритерий, т.е. являются весовыми коэффициентами.
Если не требуется обеспечивать безразмерность, функция (2) записывается в более простом виде:
q0(x) = (4)
Таким образом, задача сводится к максимизации суперкритерия:
x* = arg max q0(q1(x), q2(x),….qp(x)). (5)
xX
Трудности и недостатки метода. Упорядочение точек в многомерном пространстве не может быть однозначным и полностью определяется видом упорядочивающей функции. Роль такой упорядочивающей функции играет суперкритерий, и даже очень малое его изменение может привести к тому, что новая оптимальная альтернатива будет очень сильно отличаться от старой. Пример: на рисунке 1а видно, как изменяется выбор наилучшей альтернативы при простой смене коэффициентов в линейной упорядочивающей функции (2), что выражается в изменении наклона соответствующей прямой:
Заметим, что линейные комбинации частных критериев придают упорядочению следующий смысл: «чем дальше от нуля в заданном направлении, тем лучше». На рисунке 1а направления, соответствующие суперкритериям изображены стрелками. Такое упорядочивание в многомерном пространстве свойственно некоторым балльным системам оценки вариантов.
Другой вариант поиска альтернативы, самой удаленной от нуля, дает максимизации минимального критерия:
x* = arg max {min[], (6)
xX
что означает поиск вокруг направления методом «подтягивания самого отстающего». Этот критерий называется также максиминным.