Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по САиПР / Тема 6_Лекция 7_ Многокритериальные задачи.doc
Скачиваний:
68
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
236.03 Кб
Скачать

7

Тема 6. Лекция 7.

ВЫБОР АЛЬТЕРНАТИВ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ

  1. Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной

  2. Условная максимизация

  3. Поиск альтернативы с заданными свойствами

  4. Нахождение множества Парето

Задача отыскания оптимального решения х*, соответствующего максимуму целевой функции часто оказывается сложной для решения. Метод решения определяется самим характером множества Х (размерностью вектора Х и типом, т.е. является ли множество конечным, континуальным или счетным), а также характером критерия: функционал или функция, какая именно (линейная, нелинейная и т.п.).

Выбор в условиях нескольких критериев. Сложность отыскания наилучшей альтернативы возрастает, когда необходимо рассматривать альтернативы не по одному, а по нескольким критериям, качественно различающимся между собой. Например, выбор конструкции самолета предполагает учет многих критериев (технических - высота, скорость, маневренность, грузоподъемность), безопасности полетов, технологических, экологических, экономических, эргономических. В обыденной жизни - выбор подарка, выбор места для стоянки в турпоходе.

Итак, пусть для оценивания альтернатив используется несколько критериев qi(x), i= 1,2,3...,р. Теоретически можно представить себе случай, когда во множестве Х окажется одна альтернатива, обладающая наибольшими значениями р всех критериев; она и является наилучшей. Однако на практике такие случаи почти не встречаются, и возникает вопрос, как осуществлять выбор (например, на рис. 1 множеству Х соответствуют внутренние точки фигуры на плоскости значений двух критериев q1 и q2; оба критерия желательно максимизировать).

Существует несколько способов выбора альтернатив в условиях нескольких критериев. К ним, в частности, относятся такие как

  • сведение многокритериальной задачи к однокритериальной

  • условная максимизация

  • поиск альтернативы с заданными свойствами

  • нахождения множества Парето.

1. Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной

Этот способ состоит в введении некоего суперкритерия, т.е. скалярной функции векторного аргумента и называется также линейной сверткой:

q0(x)=q0(q1(x),q2(x),…qp(x)) (1)

Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине , выделив тем самым наилучшую (по этому критерию) альтернативу. Вид функции определяется те, как мы представляет себе вклад каждого критерия в суперкритерий. Обычно при этом используются аддитивные или мультипликативные функции:

q0(x) = (2)

1-q0(x) = (3)

Коэффициенты Si обеспечивают, во-первых, безразмерность числа qi(x)/Si, так как частные критерии могут иметь различную размерность и тогда некоторые арифметические операции, например, сложение, могут не иметь смысла. Во-вторых, в необходимых случаях c их помощью выполняется условие нормировки. Коэффициенты i, i отражают относительный вклад частных критериев в суперкритерий, т.е. являются весовыми коэффициентами.

Если не требуется обеспечивать безразмерность, функция (2) записывается в более простом виде:

q0(x) = (4)

Таким образом, задача сводится к максимизации суперкритерия:

x* = arg max q0(q1(x), q2(x),….qp(x)). (5)

xX

Трудности и недостатки метода. Упорядочение точек в многомерном пространстве не может быть однозначным и полностью определяется видом упорядочивающей функции. Роль такой упорядочивающей функции играет суперкритерий, и даже очень малое его изменение может привести к тому, что новая оптимальная альтернатива будет очень сильно отличаться от старой. Пример: на рисунке 1а видно, как изменяется выбор наилучшей альтернативы при простой смене коэффициентов в линейной упорядочивающей функции (2), что выражается в изменении наклона соответствующей прямой:

Заметим, что линейные комбинации частных критериев придают упорядочению следующий смысл: «чем дальше от нуля в заданном направлении, тем лучше». На рисунке 1а направления, соответствующие суперкритериям изображены стрелками. Такое упорядочивание в многомерном пространстве свойственно некоторым балльным системам оценки вариантов.

Другой вариант поиска альтернативы, самой удаленной от нуля, дает максимизации минимального критерия:

x* = arg max {min[], (6)

xX

что означает поиск вокруг направления методом «подтягивания самого отстающего». Этот критерий называется также максиминным.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.