Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по САиПР / Тема 5.Лекция 6_НП.doc
Скачиваний:
44
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
134.14 Кб
Скачать

Тема 5. Лекция 6.

нелинейное программирование (НП)

  1. Постановка задачи НП

  2. Эколого-экономическая интерпретация задачи НП

  3. Геометрическая интерпретация задачи НП

  4. Метод множителей Лагранжа (ММЛ)

  5. Обзор рассмотренных методов.

1. Постановка задачи нп

В общем виде задача НП состоит в определении max/min значения

f (x1, x2, … xn) (1)

при условии, что ее переменные удовлетворяют соотношениям

gi(x1, x2, …, xn)  bi (i = 1, k)

gi(x1, x2, …, xn) = bi (i = k + 1, m),

где f и gi некоторые известные функции n переменных, а bi – заданные числа.

Имеется в виду, что в результате решения задачи будет определена точка Х* = (х1*, х2*, … хn*), координаты которой удовлетворяют соотношению (2), причем для всякой другой точки, отвечающей условиям (2), выполняется

F* (x*1, x*2, … x*n)  f (x1, x2, … xn)

Если f и gi – линейные функции, то это будет задача линейного программирования.

Соотношения (2), образующие систему ограничений, включают в себя и условия неотрицательности переменных, если таковые имеются. Последние могут быть заданы и отдельно.

В евклидовом пространстве En система ограничений (2) определяет ОДР. В отличие от задачи ЛП она не всегда является выпуклой.

Если определена ОДР, то нахождение решения задачи НП сводится к определению такой точки этой области, через которую проходит гиперповерхность наивысшего (наинизшего) уровня: f (x1, x2, … xn) = h, причем эта точка может находиться как на границе ОДР, так и внутри нее.

2. Эколого-экономическая интерпретация задач нп

На проведение мероприятий по повышению экологичности производства предприятие располагает 220 тыс. руб. Эти средства могут быть распределены между тремя подразделениями. Каждый вариант распределения снижает в определенной степени ущерб от загрязнения окружающей среды и дает определенный эффект, равный предотвращенному ущербу. Требуется определить такой вариант распределения капиталовложений, при котором эффект, получаемый предприятием будет максимальным.

Подраз-деления

Капитало-вложения, тыс.р.

Эффект, тыс. руб.

Капитало-вложения, тыс.р.

Эффект, тыс. руб.

Капитало-вложения, тыс.р.

Эффект, тыс. руб.

I

От 10 до 30

7,3

30…60

8,0

60

10

II

От 10 до 40

6,2

40…70

8,6

 70

9,1

III

От 10 до 50

9,1

50…60

9,8

 60

9,5

Математическая модель

Обозначим капиталовложения, распределенные между тремя подразделениями х1, х2, х3.

Эффект по каждому подразделению: С11), С22), С33).

F = C1(X1) X1 + C2(X2)X2 + C3(X3)X3 = f (X1, X2, X3)  max

X1 + X2 + X3 = 220

X1, X2, X3  0.

Известно, что можно регулировать степень чистоты ОС путем нормирования, т.е. введения допустимого уровня загрязнителя в среде. Такое регулирование можно осуществлять путем выдачи производителю лицензий, условием для получения которых являлось бы соблюдение установленных норм качества ОС. Естественно, что каждое предприятие – источник загрязнения несет определенные затраты на устранение загрязнения.

Полные затраты (С) на устранение загрязнения складываются из суммы затрат Сi для каждого загрязняющего среду:

,

где Qi – масса устраненного загрязняющего вещества i-м предприятиям.

Для обеспечения установленного уровня качества ОС полная масса загрязняющего вещества Q, подлежащего устранению, определяется как:

Поскольку затраты предприятий на устранение загрязнений ложатся также и на потребителей продукции (удорожание ее), то обществу в целом выгодна минимизация полных затрат на обеспечение качества ОС.

Таким образом целевая функция

.

Ограничения: .

В общем случае это задачи с размерностью  2. Их решение сводится к минимизации так называемой функции Лагранжа .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.