Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по САиПР / Тема 5.Лекция 6_НП.doc
Скачиваний:
43
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
134.14 Кб
Скачать

3. Геометрическая интерпретация задачи нелинейного

программирования

При числе переменных не более двух задачу НП можно решить геометрическим способом.

Процесс нахождения решения задачи НП (1), (2) с использованием ее геометрической интерпретации включает следующие этапы:

  1. Находят ОДР задачи, определяемую соотношением (2); если она пуста, то задача не имеет решения.

  2. Строят гиперповерхность f (x1, x2, … xn) = h.

  3. Определяют гиперповерхность наивысшего (наинизшего) уровня или устанавливают неразрешимость задачи из-за неограниченности функции (1) сверху (снизу) на множестве допустимых решений.

  4. Находят точку ОДР, через которую проходит гиперповерхность наивысшего (наинизшего) уровня, и определяют значение функции (1).

Пример.

Найти max функции f = x2  x12 + 6x1 (3)

При условиях

1 + 3х2  24

х1 + 2х2  15

1 + 2х2  24

х2  4,

х12  0.

Решение: F нелинейна, следовательно, это задача НП;

  1. ОАВС - ОДР

Следовательно, нужно определить такую точку многоугольника ОАВС, в которой функция принимает max значение.

  1. Построим линию уровня F = x2  x12 +6x1 = h,

где h – некоторая постоянная, и исследуем ее поведение при различных h. При каждом h получаем параболу, которая тем выше относительно ОХ, чем больше h.

Действительно,

F = x2  x12 +6x1 = h =  парабола x2 = x12 - 6x1 – h или х2 = (х1 – 3)2+h-9.

Р ассмотрим h = 9 х2 = (х1 – 3)2

h = 11 х2 = (х1 – 3)2 + 2

h = 13 х2 = (х1 – 3)2 + 4

Функция F принимает максимальное значение в точке касания одной из парабол с границей многоугольника ОАВС. В данном случае это точка Д, в которой линия уровня F = x2  x12 +6x1 = 13 касается стороны многоугольника ОАВС.

П ри каждом h получаем параболу, которая тем выше отн. ОХ, чем больше h.

Действительно,

F = x2  x12 +6x1 = h =  парабола x2 = x12 - 6x1 – h или х2 = (х1 – 3)2+h-9

Рассмотрим h = 9 х2 = (х1 – 3)2

h = 11 х2 = (х1 – 3)2 + 2

h = 13 х2 = (х1 – 3)2 + 4

Координаты точки D находим из уравнений, соответствующих преобразованным ограничениям (1) и (2):

x2  x12 +6x1 = 13, х2 = 4, откуда х1* = 3; х2* = 4.

Umax, Fmax = 13 при х* = (3;4).

Таким образом в этой задаче точка Fmax не является вершиной треугольника решений. Поэтому процедура перебора вершин, которая использована в задачах ЛП неприменима.

4. Метод множителей Лагранжа

Математическая постановка. Рассмотрим частный случай общей задачи НП (1), (2), предполагая, что система ограничений (2) содержит только уравнение, отсутствуют условия неотрицательности переменных, и f (X1, X2 …Xn) и qi (X1, X2,…Xn) – функции, непрерывные вместе со своими частными производными.

f (X1, X2 …Xn) max (min)

qi (X1, X2,…Xn) = bi (I = 1, m).

Это так называемая задача на условный экстремум или классическая задача оптимизации.

Чтобы найти решение этой задачи, вводят набор переменных 1, 2,…n, называемых множителями Лагранжа, составляют функцию Лагранжа.

f (X1, X2Xn, 1, 2,…n) = f (X1, X2Xn) +

находят частные производные.

и рассматривают систему n + m уравнений.

с n+m неизвестными Х1, Х2,…Хn, n, 1, 2,… m.

Всякое решение этой системы уравнений определяет точку Х* = (Х1*, Х2, … Хn), в которой может иметь место экстремум функции f (x1, x2,…xn).

Следовательно, решив систему уравнений, получают все точки, в которых функция f (x1, x2,…xn) может иметь экстремальные значения.

Таким образом, определение экстремальных точек задачи НП методом множителей Лагранжа включают следующие этапы:

  1. Составляют функцию Лагранжа.

  2. Находят частные производные от функции Лагранжа по переменным Х1 и 1 и приравнивают их нулю.

  3. Решая полученную систему уравнений, находят точки, в которых целевая функция задачи может иметь экстремум.

  4. Среди точек, подозрительных на экстремум, находят такие, в которых достигается экстремум, а вычисляют значения целевой функции в этих точках.

Пример:

По плану производства предприятию необходимо изготовить 180 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены двумя технологическими способами. При производстве Х1 изделий I способом приведенная масса токсичных отказов равна 4Х1 + Х12 кг, а при изготовлении Х2 изделий II способом они составляют 8х2 + х22 кг.

Определить, сколько изделий каждым из способов следует изготовить, чтобы общая масса отходов была минимальной.

Решение:

Математическая постановка задачи состоит в определении минимального значения функции

f = 4x1 + x12 + 8x2 + x22

при условиях х1 + х2 = 180, х1, х2  0.

Теперь решим задачу, используя метод множителей Лагранжа. Найдем min целевой функции при условии х12 = 180, но без учета требований неотрицательных переменных.

  1. Составим функцию Лагранжа:

F(x1, x2,) = 4x1+x12+8x2+x22+(180-x1 – x2)

  1. Вычисляем частные производные и приравниваем к нулю:

Перенося в правые части первых двух уравнений  и приравнивая их левые части:

4 + 2х1 = 8+2х2 или х1 – х2 = 2

Решая это уравнение совместно с последним:

х1 – х2 = 2

180-х12 = 0, находим: х2 = х1-2

180-х1 – х1+2 = 0 х1 = 91; х2 = 89.

Этот результат и был получен выше, однако ММЛ более универсален, т.к. применим при n  2.

5. Обзор рассмотренных методов. Математическое

программирование и исследование операций

Рассмотренные нами методы линейного и нелинейного программирования (а также целочисленное программирование, динамическое программирование) объединяются понятием математическое программирование. Математическое программирование как и другие методы решения экстремальных задач составляют основу аппарата исследования операций - дисциплины, которая является одним из истоков системного анализа. Фактически, основные концепции, принципы анализа систем являются развитием теории исследования операций, и ее методы являются сегодня одной из основных глав системного анализа.

Сам термин «исследование операций» возник в послевоенные годы, когда стало ясно, что задачи широкого класса, возникшие в самых различных сферах человеческой деятельности, имеют, несмотря на их качественное различие, одно общее - они сводятся к выбору способа действия, варианта плана, параметров конструкции и т.п., т.е. к принятию решений, и этого общего достаточно для построения единой теории и единой системы методов. Создание сложных технических систем, проектирование сложных народнохозяйственных комплексов, анализ экологических ситуаций и многие другие направления инженерной, научной и хозяйственной деятельности требовали развития междисциплинарных, системных исследований. В этих условиях возник и весьма общий термин - «операция», означающий любое целенаправленное действие. Говоря об операции, мы всегда связываем с ней некоторого субъекта (оперирующую сторону), который формулирует цель операции и в интересах которого последняя проводится. Цель операции - обычно некоторый внешний (экзогенный) элемент - считается заданной.

Наряду с субъектом, т.е. с оперирующей стороной, мы всегда имеем дело еще и с исследователем операции. Он действует в интересах оперирующей стороны, и его задача состоит в том, чтобы найти способ использования ресурса (т.е. возможностей оперирующей стороны), обеспечивающий достижение цели.

Выше было сказано, что математическое программирование как и другие методы решения экстремальных задач составляют основу аппарата исследования операций, однако сама теория исследования операций не может быть сведена к решению экстремальных задач. Более того, исследование операций не является чисто математической дисциплиной и главные сложности анализа конкретных операций, как правило, заключаются не в математических трудностях.

Первым шагом исследования операций является формализация операции, ее описание с помощью языка математики. От того, как будет формализована задача, будет зависеть судьба исследования. Так простое описание делает и анализ более простым, но если модель не будет в достаточной степени адекватна реальности, то мы получим сомнительную достоверность результатов. Наоборот, переусложненная задача, учитывающая разнообразные детали процесса и с большими подробностями описывающая реальность, может привести к такой затрате машинного времени (большие системы), которую даже высокая точность результата не сможет оправдать.

Еще более сложные проблемы возникают при формировании критерия - способа оценки качества наших действий, когда необходимо сравнивать различные варианты стратегий, различные альтернативы. Здесь типична ситуация, когда операция оценивается несколькими показателями. В этом случае говорят о неопределенности целей. (Н.Н. Моисеев Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.)

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.