2. Критериальный язык описания выбора

Название «критериальный язык» связано с основным предположением, состоящим в том, что каждую отдельно взятую альтернативу можно оценить конкретным числом (значением критерия) и сравнение альтернатив сводится к сравнению соответствующих им чисел.

Пусть х – некоторая альтернатива из множества Х. Считается, что для всех х Є Х может быть задана функция q(x), которая называется критерием (критерием качества, целевой функцией, функцией полезности) и обладает тем свойством, что, если альтернатива Х₁ предпочтительнее Х₂, т.е.

Х₁  Х₂, то q(X₁)  q(X₂)

C(X₁)  C(X₂)

Если допустить, что выбор любой альтернативы приводит к однозначно известным последствиям (выбор в условиях определенности) и заданный критерий q(Х) численно выражает оценку этих последствий, то наилучшей альтернативой х* является та, которая обладает наибольшим значением критерия:

Х* = arg max q(X)

х Є Х

Задача отыскания Х* называется задачей оптимизации.

Таким образом, мы имеем еще одно определение критерия:

Критерий есть некоторая функция q(x), где х - некоторая альтернатива из множества Х,

Метод решения задачи отыскания Х* определяется характером множества Х (размерность вектора и тип множества), характером критерия q(X).

3. Постановка задач оптимизации и их классификации

Упрощенная классификация задач оптимизации приведена на рис.1.

Здесь можно сразу выделить два класса оптимизационных задач: задачи безусловной оптимизации, когда решение можно искать на всем множестве действительных чисел и задачи условной оптимизации, когда на область допустимых решений накладываются определенные ограничения - условия, и формируется так называемая область допустимых решений. Первый класс задач нам хорошо знаком - это задачи исследования функций на максимум-минимум, которое осуществляется с помощью производной. Ко второму классу относятся задачи так называемого математического программирования.

Рис.1

Считается, что необходимым и достаточным условием для постановки задач условной оптимизации систем является задание:

а) критерия оптимизации q = F(X)  min (max), т.е. показателя или параметра, в экстремуме которого заинтересован исследователь;

б) целевой функции F(X), связывающей критерий с переменными xj (j = 1 …n), т.е. теми конструктивными и другими характеристиками системы, которые могут быть изменены при необходимости;

в) ограничений Аij(Xj)  bi (i = 1 …m), на ряд характеристик, также являющихся функциями xj;

г) области значений учитываемых переменных x_j^min  x_j  x_j^max.

Принципиальная возможность строгой постановки задач оптимизации возникает лишь при аналитическом выражении критерия оптимизации q и функций ограничений A_i(X_j).

Ограничения в задачах оптимизации могут касаться:

 доступных ресурсов (средств, времени);

 природы рассматриваемых процессов и учитываемых переменных;

особенностей принятия допущений и области значений переменных.

Последовательность решения оптимизационных задач в обычно включает следующие этапы:

1. содержательная (вербальная) постановка;

2. составление математической (числовой) модели;

3. подготовка исходных данных по каждому из альтернативных воздействий и определение области допустимых решений;

4. выбор метода решения задачи;

5. разработка или подбор алгоритма (программы) вычислений вручную или на ЭВМ;

6. решение задачи, т.е. нахождения оптимума - максимального или минимального значения целевой функции (критерия);

7. верификация, т.е. проверка полученных результатов на правдоподобность и анализ решения.

Литература

Анфилатов В. С. Системный анализ в управлении: Учеб. пособие для студ. вузов / В. С. Анфилатов, А. А. Емельянов, А. А. Кукушкин.-М.: Финансы и статистика, 2003.-368 с.; 004.9(07) А736 004.9(07) А73 (в читальном зале).

Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных странах: Учеб. пособие для студ. вузов.-М.: Логос, 2000.-296 с.: ил.; 21см..-(Учебник для ХХI века).-ISBN 5-88439-046-7: 68.00. 519.8(07). 519.8(07) Л25 (в отделе научной литературы).

Фишберн П.С. Теория полезности для принятия решений / Под ред. Н.Н.Воробьева.-М.: Наука, 1978.-352с. 519.8 Ф68.