Задача о назначениях Задание:

Решить задачу по следующим данным:

	1	2	3	4	5	6	7
1	6	5	9	10	7	12	8
2	9	7	11	6	8	11	10
3	8	10	7	8	10	7	4
4	5	6	10	5	6	11	12
5	4	9	8	9	4	1	2
6	5	6	10	11	10	12	5
7	4	11	5	4	5	12	13

Необходимо найти наиболее высокую производительность работников, выполняющих ту или иную работу.

i – работник; j – работа; C_ij – производительность

Решение:

Приведем задачу максимизации к задаче минимизации:

	1	2	3	4	5	6	7
1	-6	-5	-9	-10	-7	-12	-8
2	-9	-7	-11	-6	-8	-11	-10
3	-8	-10	-7	-8	-10	-7	-4
4	-5	-6	-10	-5	-6	-11	-12
5	-4	-9	-8	-9	-4	-1	-2
6	-5	-6	-10	-11	-10	-12	-5
7	-4	-11	-5	-4	-5	-12	-13

Приведем данную матрицу по строкам и по столбцам, получим:

	1	2	3	4	5	6	7	-79
1	6	7	3	2	5	0	4	-12
2	2	4	0	5	3	0	1	-11
3	2	0	3	2	0	3	6	-10
4	7	6	2	7	6	1	0	-12
5	5	0	1	0	5	8	7	-9
6	7	6	2	1	2	0	7	-12
7	9	2	8	9	8	1	0	-13

	1	2	3	4	5	6	7
1	4	7	3	2	5	0	4
2	0	4	0	5	3	0	1
3	0	0	3	2	0	3	6
4	5	6	2	7	6	1	0
5	3	0	1	0	5	8	7
6	5	6	2	1	2	0	7
7	7	2	8	9	8	1	0
2	2	0	0	0	0	0	0

Сложив приведение по строкам и по столбцам, получим: -79 + 2 = -77.

Следовательно, Min оценка = -77.

Оценим нули в полученной матрице:

	1	2	3	4	5	6	7
1	4	7	3	2	5	0/2	4
2	0	4	0/1	5	3	0	1
3	0	0	3	2	0/2	3	6
4	5	6	2	7	6	1	0/1
5	3	0	1	0/1	5	8	7
6	5	6	2	1	2	0/1	7
7	7	2	8	9	8	1	0/1

	1	2	3	4	5	7	1
2	0	4	0	5	3	1	0
3	0	0	3	2	0	6	0
4	5	6	2	7	6	0	0
5	3	0	1	0	5	7	0
6	4	5	1	0	1	6	1
7	7	2	8	9	8	0	0

Max оценка = 2.

Разбиваем на 1,6 и not 1,6. not 1,6 = -77+2=-75

Минор по 1,6. 1,6=-77+1=-76

Приводим матрицу по 6 строке.

Оценим нули в полученной матрице:

	1	2	3	4	5	7				1	2	3	4	5	2
2	0	4	0/1	5	3	1			2	0	4	0	5	3	0
3	0	0	3	2	0/1	6			3	0	0	3	2	0	0
4	5	6	2	7	6	0/2			5	3	0	1	0	5	0
5	3	0	1	0	5	7			6	4	5	1	0	1	0
6	4	5	1	0/1	1	6			7	5	0	6	7	6	2
7	7	2	8	9	8	0/2

Max оценка = 2.

Разбиваем на 4,7 и not 4,7. not 4,7 = -76+2=-74

Минор по 4,7. 4,7 = -76+2=-74

Приводим матрицу по 7 строке.

Получим: (not 1,6 = -75)<(4,7 = -74)

Переходим к задаче:

	1	2	3	4	5	6	7
1	-6	-5	-9	-10	-7	-	-8
2	-9	-7	-11	-6	-8	-11	-10
3	-8	-10	-7	-8	-10	-7	-4
4	-5	-6	-10	-5	-6	-11	-12
5	-4	-9	-8	-9	-4	-1	-2
6	-5	-6	-10	-11	-10	-12	-5
7	-4	-11	-5	-4	-5	-12	-13

Приведем данную матрицу по строкам и по столбцам, получим:

	1	2	3	4	5	6	7	-77			1	2	3	4	5	6	7
1	4	5	1	0	3	-	2	-10		1	4	5	1	0	3	-	2
2	2	4	0	5	3	0	1	-11		2	2	4	0	5	3	0	1
3	2	0	3	2	0	3	6	-10		3	2	0	3	2	0	3	6
4	7	6	2	7	6	1	0	-12		4	7	6	2	7	6	1	0
5	5	0	1	0	5	8	7	-9		5	5	0	1	0	5	8	7
6	7	6	2	1	2	0	7	-12		6	7	6	2	1	2	0	7
7	9	2	8	9	8	1	0	-13		7	9	2	8	9	8	1	0
										2	2	0	0	0	0	0	0

Сложив приведение по строкам и по столбцам, получим: -77 + 2 = -75.

Оценим нули в полученной матрице:

	1	2	3	4	5	6	7				1	2	3	4	6	7
1	4	5	1	0/2	3	-	2			1	2	5	1	0	-	2
2	2	4	0/1	5	3	0/1	1			2	0	4	0	5	0	1
3	2	0	3	2	0/2	3	6			4	5	6	2	7	1	0
4	7	6	2	7	6	1	0/1			5	3	0	1	0	8	7
5	5	0	1	0	5	8	7			6	5	6	2	1	0	7
6	7	6	2	1	2	0/1	7			7	7	2	8	9	1	0
7	9	2	8	9	8	1	0/1			2	2	0	0	0	0	0

Max оценка = 2.

Разбиваем на 3,5 и not 3,5. not 3,5 = -75+2=-73

Минор по 3,5. 3,5= -75+2=-73

Приводим матрицу по 6 строке.

(3,5 = -73)>(4,7=-74)

Переходим к предыдущей задаче, где мы прервались:

Оценим нули в полученной матрице:

	1	2	3	4	5				1	3	4	5
2	0	4	0/1	5	3			2	0	0	5	3
3	0	0	3	2	0/1			3	0	3	2	0
5	3	0	1	0	5			5	3	1	0	5
6	4	5	1	0/1	1			6	4	1	0	1
7	5	0/5	6	7	6

Max оценка = 5.

Разбиваем на 7,2 и not 7,2. not 7,2 = -69

Минор по 7,2. 7,2 = -74

Оценим нули в полученной матрице:

	1	3	4	5				1	4	5
2	0	0/1	5	3			3	0/3	2	0/1
3	0	3	2	0/1			5	3	0/3	5
5	3	1	0/1	5			6	4	0/1	1
6	4	1	0/1	1

Max оценка = 1.

Разбиваем на 2,3 и not 2,3. not 2,3 = - 73

Минор по 2,3. 2,3 = -74

Оценим нули в полученной матрице:

	1	4	5				4	5
3	0/3	2	0/1			5	0	4
5	3	0/3	5			6	0	0
6	4	0/1	1			1	0	1

Max оценка = 3.

Разбиваем на 3,1 и not 3,1. not 3,1 = -71

Минор по 3,1. 3,1 = -73

Приводим матрицу по 5 столбцу.

Получим: (not 4,7 = -74)<(3,1 = -73)

Переходим к задаче:

	1	2	3	4	5	7
2	0	4	0	5	3	1
3	0	0	3	2	0	6
4	5	6	2	7	6	-
5	3	0	1	0	5	7
6	4	5	1	0	1	6
7	7	2	8	9	8	0

Приведем данную матрицу по 4 строке и оценим нули:

	1	2	3	4	5	7	2
2	0	4	0	5	3	1	0
3	0	0	3	2	0/1	6	0
4	3	4	0/3	5	4	-	2
5	3	0	1	0	5	7	0
6	4	5	1	0/1	1	6	0
7	7	2	8	9	8	0/3	0

Max оценка = 3.

Разбиваем на 4,3 и not 4,3. not 4,3 = -71

Минор по 4,3. 4,3 = -72

(4,3 = -72)>(3,1=-73)

Переходим к предыдущей задаче, где мы прервались:

Оценим нули в полученной матрице:

	4	5			5
5	0/4	4		6	0
6	0	0/4

В итоге получим дерево ветвлений:

-75

-76

-74

-74

-69

-73

-74

-73

-73

-71

-69

-73

-73

-73

-71

1 – 6

4 – 7

7 – 2

2 – 3

3 – 1

5 – 4

6 – 5

Итоговая производительность:

C_ij = 73 (при переходе к задаче максимизации домножаем на -1)

Вывод:

Задача решена по методу «ветвей и границ». Наиболее высокая производительность работников, выполняющих ту или иную работу, равна 73.