2. Экономическая интерпретация коинтеграции
В основе понятия коинтеграции лежит идея о том, что в некоторых случаях отсутствие стационарности у многомерного процесса вызывается общим стохастическим трендом, который может быть устранен путем взятия определенной линейной комбинации компонент процесса, в результате чего эта линейная комбинация будет стационарной.
Причина популярности понятия коинтеграции в эконометрике заключается в том, что классические макроэкономические модели сформулированы в виде линейных соотношений между одновременными значениями переменных. И хотя экономические переменные не стационарны, теория одновременных уравнений, связывающих эти переменные, была разработана для стационарных процессов. Таким образом, коинтеграция представляет собой математическую формулировку устойчивого равновесия в экономике.
Однако стремление к описанию реальной экономики с использованием стандартных регрессионных методов ввиду нестационарности данных может приводить к проблеме «ложной регрессии», обусловленной некорректностью применения t- и F-тестов.
Рассмотрим два независимых случайных блуждания:
,
.
,
,
Так
как
и
независимы,
то между
и
нет
ничего общего. Поскольку исследователь
не знает механизмов, порождающих
и
, то он может оценивать регрессию:
.
Методами
имитационного моделирования Granger и
Newbold показали, что если тестировать
значимость такой зависимости при помощи
стандартной t-статистики,
то очень вероятно, что будет получен
ложный вывод о наличии значимой связи.
Причиной этого является то, что ошибка
-
нестационарный процесс и поэтому
не
удовлетворяет условиям классической
регрессионной модели (в частности,
постоянство дисперсии ошибок). t-статистика
в этом случае не имеет предельного
распределения и расходится при
.
Поэтому, чем больше выборка, тем больше
шансов прийти к ложному заключению.
Такая ситуация и получила название
“мнимая (ложная) регрессия” (spurious
regression). На практике признаками мнимой
регрессии являются высокое значение
при малом значении статистики
Дарбина-Уотсона (DW).
Для рассмотрения теории коинтеграции уточним ряд известных и введем новые определения.
В рамках методологии Бокса-Джеккинса предполагается стационарность анализируемых данных, либо изначально, либо после определенных преобразований - интегрирования временных рядов.
Если стационарный ряд образуется первыми разностями, то исходный ряд называется интегрированным первого порядка, или I(1). Если же требуется рассчитать вторые разности для получения стационарного ряда, то это интегрированный ряд второго порядка, или I(2). Если для сведения нестационарного временного ряда к стационарному необходимо произвести d разностных преобразований (ряд имеет d единичных корней), то ряд называется интегрированным порядка d, или I (d). Если же в ряду вообще не требуется вычислять разности, то он называется интегрированным рядом нулевого порядка, или I(0).
Вернемся к взаимосвязи динамических переменных.
Корреляцию обычно рассматривают как меру линейной зависимости между парами переменных. Чтобы коэффициент корреляции являлся статистически значимым показателем связи между двумя временными рядами, необходимо выполнение условия их совместной стационарности (постоянство средних).
Отдельная
переменная является ковариационно
стационарной, если
и
- конечные константы для всех значений
t,
и, таким образом, ковариация двух
наблюдений
зависит
только от времени между наблюдениями.
Чтобы две переменные были совместно
ковариационно стационарными, индивидуальные
ряды должны быть ковариационно
устойчивыми, а ковариация
и
должна быть неизменной при всех значениях
t,
т.е. чтобы не зависела от t.
В реальной ситуации это и будет
классическое экономическое равновесие.
Возвращение экономики к состоянию равновесия известно в теории как исправление ошибки. Модель этого процесса соответственно называется моделью исправления ошибок и в эконометрике соответствует возвращению уровней стационарного ряда к средней величине.
Чтобы подтвердить идентичность стационарности и возвращения к средней, рассмотрим уравнение, используемое для проверки на стационарность:
.
Допустим,
что при равновесном среднем значении
α,
равном 0, произошло внезапное отклонение
и α
стало равным 2. Если теперь пренебречь
случайными эффектами, т.е. величинами
,
то
и
будут
равны:
С
другой стороны, если бы значение
было
равно –3, то
и
были
бы равны соответственно:
Таким
образом, мы видим, что после положительного
отклонения от постоянной средней
величины следуют отрицательные изменения,
и величина этих изменений является
функцией размера положительного
отклонения. Аналогично отрицательное
отклонение вызывает положительные
изменения. Таким образом, независимо
от изменения и его знака последующие
изменения будут приводить значение
переменной к ее средней величине. Обобщая
можно говорить, что при
ряд имеет тенденцию возвращаться к
среднему значению. Значит в коинтегрированных
рядах, ошибка равновесия
возвращается
к среднему значению, а две интегрированные
переменные возвращаются к равновесию.
Следовательно, первая ступень анализа коинтеграции – это оценка константы коинтеграции (при условии, что она существует). В случае с двумя переменными может быть использован МНК.
Признаки коинтеграции двух переменных:
временные ряды переменных идентифицируются как I(1);
В целом проверка коинтеграции рядов динамики происходит в два этапа.
Первый этап. Определить, что переменные являются рядами I(1). Это можно сделать при помощи расширенного критерия Дики-Фуллера.
Второй этап. Выяснив, что данные ряды являются рядами I(1), применяют МНК к оценке регрессии коинтеграции:
.
Третий этап. Определить, являются остатки ли данной регрессии рядом I(0) по регрессии
.
Теперь ясно, почему коинтеграция в рядах динамики адекватна модели исправления ошибок в макроэкономике. Коинтеграционная переменная z должна быть стационарной, что возможно, если ряды переменных X,Y идентифицируются как I(1) и коинтегрированы. При стационарности z будет колебаться вокруг долгосрочного среднего значения с постоянной дисперсией. Это и означает, что в случае отклонения от равновесного соотношения должны существовать силы (процесс исправления ошибки), приводящий к равновесию.