- •Графы, сети и их применение в экономике
- •2.1. Основные определения и характеристики графов.
- •2.2. Ориентированные графы. Построение минимального остовного дерева сети
- •2.3. Задача нахождения кратчайшего пути. Дерево решений
- •2.4. Сетевые графики
- •Вопросы и задачи для самопроверки
- •5. Математические модели в финансовых операциях
- •5.1. Простые проценты. Сложные проценты
- •5.2. Начисление процентов в условиях инфляции.
- •5.3. Погашение кредита. Балансовое равенство
- •5.4. Балансовое уравнение
- •Иерархии и приоритеты
- •6.1. Приоритеты. Измерения и согласованность. Идеальные измерения
- •Первый состоит в том, чтобы определить (угадать) вес каждого предмета, взяв за единицу измерения (эталон) самый маленький, а значит и самый легкий. Это потребует (n – 1) сравнений.
- •6.2 Обратно-симметричные и согласованные матрицы. Индекс согласованности
- •6.3 Вычисление собственных характеристик обратно-симметричной матрицы
- •6.4 Проблема сравнения. Построение шкал. Иерархии
- •7. Методы прогнозирования
- •7.1 Анализ временных рядов. Метод подвижного (скользящего) среднего.
- •7.2 Метод проецирования тренда
- •7.3 Прогнозирование с учетом сезонной вариации. Аддитивная модель
- •7.4. Мультипликативная модель. Каузальные методы прогнозирования. Качественные методы прогнозирования
- •8. Основы управления рисками в экономике
- •8.1. Риски в экономике. Оптимизация портфелей банка
- •9. Динамические модели
- •9.1. Модель народонаселения
- •9.2. Модель мобилизации
- •9.3. Модель гонки вооружений
- •9.4. Модель хищник – жертва
6.2 Обратно-симметричные и согласованные матрицы. Индекс согласованности
Рассмотрим теперь квадратную положительную матрицу порядка n
|
|
a11 |
… |
a1k |
… |
a1n |
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
||
A= |
ai1 |
|
aik |
… |
ain |
||
|
… |
… |
… |
… |
… |
||
|
an1 |
… |
ank |
… |
ann |
Матрица А называется обратно-симметричной, если для любых i и k выполняется соотношение
a ki = 1 / a ik.
Из этого, в частности, следует, что
a ii = 1.
Матрица А называется согласованной, если для любых i, k и l выполнено равенство
a ik a kl = ail.
Сравнивая свойства идеальной матрицы сравнения с приведенными определениями, приходим к выводу, что идеальная матрица сравнений — обратно-симметричная и согласованная.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема. Положительная обратно-симметричная матрица является согласованной тогда и только тогда, когда порядок матрицы и ее наибольшее собственное значение совпадают: λ max = n.
Индекс согласованности. Если элементы положительной обратно-симметричной согласованной матрицы А изменить незначительно («пошевелить»), то максимальное собственное значение λmах также изменится незначительно. Пусть А − произвольная положительная обратно-симметричная матрица и λmах − ее наибольшее собственное значение.
Если
λmах = n,
то матрица А — согласованная.
Если
λmах n
(всегда λmах n), то в качестве степени отклонения положительной обратно-симметричной матрицы А от согласованной можно взять отношение
которое называется индексом согласованности (ИС) матрицы А и является показателем близости этой матрицы к согласованной.
Замечание. Считается, что если ИС не превышает 0,10, то можно быть удовлетворенным степенью согласованности суждений.
6.3 Вычисление собственных характеристик обратно-симметричной матрицы
Довольно естественно встает вопрос о том, как находить наибольшее собственное значение λmах положительной обратно-симметричной матрицы.
1-й способ:
суммируем элементы каждой строки и записываем полученные результаты в столбец;
складываем все элементы найденного столбца;
делим каждый из элементов этого столбца на полученную сумму.
2-й способ:
суммируем элементы каждого столбца и записываем полученные результаты в столбец;
заменяем каждый элемент построенного столбца на обратный ему;
складываем элементы столбца из обратных величин;
делим каждый из этих элементов на полученную сумму.
3-й способ:
суммируем элементы каждого столбца;
делим элементы каждого столбца на их сумму;
складываем элементы каждой строки полученной матрицы;
записываем результаты в столбец;
делим каждый из элементов последнего столбца на порядок исходной матрицы п.
4-й способ:
перемножаем элементы каждой строки и записываем полученные результаты в столбец;
извлекаем корень n-й степени из каждого элемента найденного столбца;
складываем элементы этого столбца;
делим каждый из этих элементов на полученную сумму.
5-й способ:
1)возводим матрицу парных сравнений в достаточно высокую степень;
2)суммируем элементы каждой строки и записываем полученные результаты в столбец;
3)складываем элементы этого столбца;
4)делим каждый из этих элементов на полученную сумму.
Следует пояснить, что такое достаточно высокая степень. С увеличением степени будет расти точность вычисления собственного вектора матрицы. Как только точность вычислений будет удовлетворять наперед заданной величине, степень можно считать достаточной.
Каждый из этих способов, будучи примененным к идеальной матрице, приводит к одному и тому же точному результату.