1. Иерархии и приоритеты

Изучая этот раздел курса, необходимо обратить внимание на то, что целью представленного материала является научить обосновывать решения в ситуациях со многими определяющими факторами путем формализации процесса анализа индивидуальных или экспертных парных сравнений этих факторов. Именно с этой целью вводится матрица сравнения и все операции с ней. Следует обратить внимание на то, как строится фундаментальная шкала сравнений и почему она выглядит именно так. Обратите также внимание на построение иерархий.

Каждый день люди вольно или невольно принимают множество разнообразных решений. Те или иные решения мы принимаем на основе своего предшествующего опыта и на основе аналогичного чужого опыта. То, какие решения мы примем, зависит от наших суждений о конкретных условиях и обстоятельствах, в которых мы живем, и зачастую – от суждений других людей. В зависимости от степени важности принимаемого решения приходится осмысливать большее или меньшее количество информации – причин и их последствий, близких и отдаленных. Ситуация может осложняться тем обстоятельством, что некоторые причины могут взаимно влиять друг на друга, усиливая или ослабляя влияние на исход принятого решения. По этой причине мы часто затрудняемся с ответом, что имеет первоочередной приоритет для нас в той или иной ситуации, что менее важно, и как на основании информации, порой кажущейся противоречивой, строить наши планы на будущее. Решения должны приниматься в какие-то разумные временные сроки. Слишком поспешное решение может оказаться ошибочным со всеми вытекающими из этого последствиями. Затягивание с принятием решения может означать упущенную возможность. Значительно упростить выбор того или иного решения и добиться большей точности в предвидении конечного результата можно, если формализовать математически процесс принятия решения. Для этого надо научиться измерять, т. е. сравнивать между собой степени влияния на результат отдельных причин и их совокупностей. С этой целью вводят шкалы, позволяющие производить такого рода сравнения. Наши способности оценивать влияние факторов не безграничны. Может оказаться так, что для решения задачи факторы целесообразно разделить на несколько уровней в зависимости от степени их влияния на результат. Тогда говорят, что структура решения представлена иерархией, включающей цель, критерии, участников процесса с их целями, субъекты, на которые влияют принимаемые решения, варианты решения.

6.1. Приоритеты. Измерения и согла­сованность. Идеаль­ные измерения

Измерения и согласованность. Предположим, что имеется некоторое семейство предметов (напри­мер, камней) S₁, … , S_n, каждый из которых легок настолько, что его нетрудно удержать в руке, и требуется оценить их относительные веса в отсутствие взве­шивающего прибора. Считается, что существует два вида сравнений: абсолютные и относительные.

Первый состоит в том, чтобы определить (угадать) вес каждого предмета, взяв за единицу измерения (эталон) самый маленький, а значит и самый легкий. Это потребует (n – 1) сравнений.

Второй способ состоит в сравнении весов всевозможных пар пред­метов: сначала мы сравниваем вес предмета S₁ с весами предметов S₂, …, S_n, затем вес предмета S₂ с весами предметов S₃, …, S_n и т. д. до тех пор, пока у нас не сформируется суждение об относительном весе (отношении весов) для каждой пары предметов.

В этом случае общее число необходимых сравнений оказывается равным n (n 1) / 2.

Согласованность измерений является весьма важной их характе­ристикой. Согласованность подразумевает при сравнении предметов по весу не просто результат типа: если A тяжелее В, и В тяжелее С, то А тяжелее С, а точный количественно результат: если A − в 1,5 раза тяжелее В, а В − в 2 раза тяжелее С, то А − в 1,5 2 = 3 раза тяжелее С.

Идеальные измерения. Предположим идеальную ситуацию, предположив, что мы знаем идеально точные веса камешков. Обозначим эти веса как

w₁,…,w_n

соответственно. Отношение

a_ik = w_i / w_k , i ,k = 1,…,n (6.1)

показывает, во сколько раз вес i–го камешка S_i больше веса k-го камешка S_k.

Запишем соотношения (6.1) в виде квадратной матрицы n × n и назовем эту матрицу идеальной матрицей сравнений.

		w1/ w1	w1 / w2	…	w1/ wn
А=		w2/ w1	w2 / w2	…	w2 / wn
		…	…	…	…
		wn/ w1	wn / w2		wn / wn

Проанализируем некоторые свойства этой матрицы.

1. Для любого i справедливо равенство а_ii = 1 (элемент матрицы А, расположенный на пересечении i-й строки и i-гo столбца, равен единице).

2. Для любых i и k справедливо равенство a _ki = 1 / a _ik (произведение элемента матрицы А, расположенного на пересечении i-й строки и k-го столбца, на элемент матрицы А, расположенный на пересечении k-й строки и i-го столбца, равно единице).

3. Для любых i, k и m справедливо равенство a_ik a_km = a_im (про­изведение элемента матрицы А. расположенного в i-й строке и k-м столбце, на элемент матрицы А, расположенный в k-й строке и m-м столбце, равно элементу матрицы А, расположенному в i-й строке и m-м столбце).

4. Столбец

		w1
W =		…
		wn

является собственным столбцом матрицы А с собственным значением λ = n.