5.3. Погашение кредита. Балансовое равенство

При анализе договоров о погашении кредита между кредитором и заемщиком необходимо помнить о неравноценности денежных сумм, относящихся к разным моментам времени. При этом необходимо приведение величин этих сумм к одному и тому же моменту времени. Как правило, за такой момент выбирают момент выдачи ссуды или кредита. Иными словами, необходимо дисконтировать денежные величины, относящиеся к моментам погашения кредита, на момент выдачи этого кредита. Если кредит выдавался несколькими траншами, необходимо кроме того дисконтировать величины всех траншей после первого на момент выдачи первого транша кредита. Подход к решению задач подобного рода для случаев с начислением по ставкам простых и сложных процентов принципиально одинаков, разнятся только формулы для расчетов. Рассмотрим случаи, когда начисление производится по ставкам сложных процентов, т. е. когда кредиты выдаются на сроки больше года. Для решения задачи воспользуемся формулами дисконтирования:

x₀ = x_k / (1+ i) ^k = x_k · (1+ i) ^−k = x_k υ ^k , где υ ^k = 1 / (1+ i) ^k . (5.48)

Предположим, что две стороны, кредитор и заем­щик, договариваются о плане погашения кредита:

кредит в 10 млн. руб. берется на 7 лет при годовой ставке 10% с условием, что через 3 года в счет погашения кредита будет внесено 5 млн. руб., через год — 4 млн. руб., еще через год — 3 млн. руб. и еще через год — 2 млн. руб.

Какая сумма должна быть внесена через 7 лет для полного пога­шения кредита?

Для того чтобы ответить на поставленный вопрос, нужно дисконтировать суммы

y₀ = 10,0; у₃ = 5,0; y₄ = 4,0; у₅ = 3,0; у₆ = 2,0.

В результате получим, согласно (5.48):

10,0; 5,0 ·1,1^-3; 4,0 · 1,1 ^-4; 3,0 · 1,1 ^-5; 2,0 · 1,1 ^-6; у₇ ·1,1 ^-7.

Величина y₇ находится из условия погашения кредита:

10,0 = 5,0 · 1,1 ^-3 + 4,0 · 1,1 ^-4 + 3,0 · 1,1 ^-5 + 2,0 · 1,1 ^-6 + у₇ ·1,09 ^-7, (5.49)

откуда после несложных вычислений получаем:

у₇ = 1 012 671 руб.

Тем самым при оговоренном порядке погашения кредита в седьмой год надо возвратить сумму 1 012 671 руб. Полная сумма, которая будет возвращена кредитору, составит:

5,0 + 4,0 + 3,0 + 2,0 + 1 012 671 = 15 012 671 (руб.)

Процент по кредиту, таким образом, равен 5 млн. 012 тыс. 671 руб., т. е. почти половине взятой суммы.

Рассмотрим другую схему погашения кредита. Здесь

y ₁= y ₂ = y ₃ = y ₄ = y ₅ = y ₆ = 0.

В этом случае:

10,0 = y ₇ · 1,1 ⁻⁷ , (5.50)

Откуда получаем искомый ответ:

y ₇ = 10,0 · 1,1⁷ = 19 487 171 (руб.).

При таком порядке погашения процент по кредиту еще больше — 9 млн. 487 тыс. 171руб.

Большое распространение получила практика выплаты в счет погашения кредита каждый год одной и той же суммы.

То есть:

y ₁= y ₂ = y_З = y₄ = y₅ = y_б = y₇ =y.

Запишем условие погашения кредита с дисконтированными на момент выдачи кредита величинами. Имеем:

10,0 = y (1,1 ^-1 + 1,1 ^-2 + 1,1^-3 + 1,1^-4 + 1,1^-5 + 1,1^-6+ 1,1^-7), (5.51)

откуда

y = 2 054 055 руб.

Предположим, что ежегодная инфляция составляет 14% и кредит погашается на седьмой год, как в (5.50). Запишем выражение для наращенной суммы в условиях инфляции:

x_k = x₀ (1 + h) ^k (1 + i)^k = x₀ [(1 + h)(1 + i)]^k,

откуда

x₀ = x_k (1 + h) ^−k (1 + i)^−k = x_k [(1 + h) (1 + i)]^−k. (5.52)

Тогда условие погашения кредита случая запишется в следующем виде:

10,0 = y₇ · [(1 + 0,14) · 1,1] ⁻⁷ (5.53)

Величина y₇ будет:

y ₇ = 10,0 · (1,14 · 1,1) ⁷ = 48 762 140. (5.54)

Таким образом, из сравнения результата в отсутствие инфляции, когда надо было возвратить через семь лет 19 487 171 руб., при ежегодной инфляции в 14% через семь лет нужно будет вернуть уже 48 762 140 руб., чтобы сохранить реальную доходность финансовой операции на уровне 10%.

Балансовое равенство

Предположим, что заемщик берет кредит по частям у одного и того же кредитора под 10 % годовых:

сразу − 12 млн. руб. (у₀ = −12).

через год − еще 10 млн. руб. (у ₁ = − 10)

и еще через два года − 4 млн. руб. (у₃ = − 4), а схема погашения кредита выглядит так:

у₅ = 6, у₆ = 8, у₇ = 10, у₈ = 8, у₉ = 6, y₁₀ = 6, у₁₁ =?

Дисконтируя все суммы на момент выдачи первой части креди­та и приравнивая суммы, соответствующие кредитам и погашениям, получаем:

12+ 10q ^-1 + 4q ^-3 = 6q ^-5 + 8q ^-6 + 10q ^-7 + 8q ^-8 + 6q ^-9 + 6q ^-10 + y ₁₁q ^-11;

здесь

q = l + 0,01p = 1 + i = 1,1.

В результате получим равенство

(−12) q⁰ + (−10)q⁻¹ + 0q⁻² + (−4)q⁻³ + 0q⁻⁴ + 6q ⁻⁵ + 8q⁻⁶ + 10q⁻⁷ + 8q⁻⁸ +

+ 6q⁻⁹ + 6q⁻¹⁰ + у₁₁q⁻¹¹ = 0.

Записанное в такой форме равенство удобно для вычислений в Microsoft Excel. После необходимых вычислений находим y ₁₁:

y₁₁ = 6.086.734 руб.

Пусть у_k — величина взноса в конце k−го года, k ≥ 0 (отрицательное значение у_k трактуется как кредит).

Все кредиты погашены за n лет, если имеет место балансовое равенство

y₀ + q^-1 y₁ + …+ q^–n y_n = 0, (5.55)

где

q = 1 + 0,01p =1 + i

т. е. сумма всех дисконтированных кредитов и взносов равна нулю.