- •Графы, сети и их применение в экономике
- •2.1. Основные определения и характеристики графов.
- •2.2. Ориентированные графы. Построение минимального остовного дерева сети
- •2.3. Задача нахождения кратчайшего пути. Дерево решений
- •2.4. Сетевые графики
- •Вопросы и задачи для самопроверки
- •5. Математические модели в финансовых операциях
- •5.1. Простые проценты. Сложные проценты
- •5.2. Начисление процентов в условиях инфляции.
- •5.3. Погашение кредита. Балансовое равенство
- •5.4. Балансовое уравнение
- •Иерархии и приоритеты
- •6.1. Приоритеты. Измерения и согласованность. Идеальные измерения
- •Первый состоит в том, чтобы определить (угадать) вес каждого предмета, взяв за единицу измерения (эталон) самый маленький, а значит и самый легкий. Это потребует (n – 1) сравнений.
- •6.2 Обратно-симметричные и согласованные матрицы. Индекс согласованности
- •6.3 Вычисление собственных характеристик обратно-симметричной матрицы
- •6.4 Проблема сравнения. Построение шкал. Иерархии
- •7. Методы прогнозирования
- •7.1 Анализ временных рядов. Метод подвижного (скользящего) среднего.
- •7.2 Метод проецирования тренда
- •7.3 Прогнозирование с учетом сезонной вариации. Аддитивная модель
- •7.4. Мультипликативная модель. Каузальные методы прогнозирования. Качественные методы прогнозирования
- •8. Основы управления рисками в экономике
- •8.1. Риски в экономике. Оптимизация портфелей банка
- •9. Динамические модели
- •9.1. Модель народонаселения
- •9.2. Модель мобилизации
- •9.3. Модель гонки вооружений
- •9.4. Модель хищник – жертва
9.2. Модель мобилизации
Под термином политическая, или социальная, мобилизация понимается вовлечение людей в партию или в число ее сторонников, в какое-либо общественное движение, религиозную группу и т. п.
Вследствие того что текущий уровень мобилизации тесно связан с прошлым ее уровнем, а будущая мобилизация зависит от сегодняшних успехов пропагандистской кампании, ясно, что при построении соответствующей модели необходимо учитывать временной фактор. Иными словами, нужно понимать, что искомая модель должна быть динамической. От модели требуется отразить изменение уровня мобилизации в некотором регионе между двумя соседними моментами времени (за год, за месяц, неделю, день и т. п.).
Примем за единицу ту часть населения, для которой мобилизация рассматриваемого типа имеет смысл. Пусть x n − доля мобилизованного населения в момент времени tn = n. Тогда доля немобилизованного населения будет равна 1 — xn (рис. 9.6).
За месяц, например, уровень мобилизации может измениться по двум основным причинам:
1) часть населения удалось привлечь дополнительно; ясно, что эта величина тем больше, чем выше доля еще не вовлеченного населения на момент tn = n, и поэтому можно считать ее равной
α (1 − xn)
(здесь 0 < α < 1 — коэффициент агитируемости, постоянный для данного региона);
2) часть населения убыла (по разным причинам); ясно, что это уменьшает долю вовлеченного населения тем больше, чем выше была эта доля на момент tn = n, и поэтому потери, связанные с выбытием, можно считать равными
β xn
(здесь 0 < β < 1 — постоянный коэффициент выбытия).
1−xn
xn |
Рис.9.6 |
Подчеркнем, что числовые параметры α и β отражают пропорциональное изменение интересов, взглядов и намерений соответствующих частей населения рассматриваемого региона.
Таким образом, изменение уровня мобилизации за единицу времени
Δ xn = xn+1 − xn
равно разности между долей населения, привлеченного дополнительно, и долей выбывшего сагитированного населения:
xn+1 − xn = α (1 − xn) – β xn. (9.12)
Это и есть модель процесса мобилизации.
Последнее соотношение легко преобразуется к следующему виду:
xп+1 = α + γ xn, (9.13)
где
γ = 1 — α — β.
Параметр γ не может быть больше 1 и меньше (−1) вследствие того, что исходные параметры α и β положительны и меньше единицы.
Полученное уравнение (9.13) называется линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами.
При γ = 1 каждый член последовательности, начиная со второго, получается из предыдущего путем сложения с некоторым постоянным числом:
xп+1 = α + xn,
т. е. имеем арифметическую прогрессию.
При α = 0 каждый член последовательности, начиная со второго, получается из предыдущего путем умножения на некоторое постоянное число:
xn+1 = γ xn,
т. е. имеем геометрическую прогрессию.
Предположим, что начальная доля привлеченного населения М0 известна. Тогда, используя уравнение (9.10), нетрудно получить (для определенности считаем, что γ 1) следующие выражения:
x1 = α + γ x0,
x2 = α + γ x1 = α + γ (α + γ x0) = α (1+ γ)+ γ2 x0,
x3 = α + γ x2 = α + γ (α (1+ γ ) + γ2 x0) = α (1+ γ+ γ2)+ γ3 x0,
Продолжая рассуждения аналогичным образом, можно записать:
xn = α (1+ γ + γ2 +…+ γn-1)+ γn x0. (9.14)
Заметим, что выражение в скобках представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем γ. Как известно, сумма первых n членов геометрической прогрессии выражается формулой:
sn = ,
где a1 – первый член геометрической прогрессии, q – знаменатель прогрессии, an = a1 q n-1. Применяя формулу (9.4) к геометрической прогрессии из (9.3), и, учитывая, что a1 = 1, an = 1× γn-1 , q = γ , имеем:
1+ γ + γ2 +…+ γn-1 = = . (9.15)
Окончательно приходим к выражению:
xn = α + γn x0 . (9.16)
Попробуем проанализировать возможности построенной модели. Нас будет интересовать стационарная ситуация, когда количество вновь мобилизованных равно количеству выбывших. Положим в (9.13) xп+1 = xn, тогда
xп = xстац. = = . (9.17)
Так как α и β находятся в промежутке от 0 до 1, величина γ = 1 — α — β находится в промежутке от ( −1) до 1. При увеличении n величина xп будет стремиться к стационарному значению xстац.. Однако, если γ > 0, или говоря иначе, α + β < 1, то xп стремится к стационарному состоянию монотонно. Если α + β > 1, то приближение будет в виде затухающих колебаний. На рис. 9.7 приведено семейство кривых, отвечающих условию: α = 0,03, β = 0,07 (при этих значениях α + β < 1). Уравнение 9.13 в этом случае запишется:
xп+1 = 0,9 xn + 0,03 (9.18)
Для принятых α и β значение xстац. = 0,3. На рис. 9.7 приведено семейство кривых, построенное по (9.18) для различных значений x0, приведенных на графике.
|
Рис.9.7 |
Все зависимости стремятся монотонно к стационарному значению 0,3. На рис. 9.8 приведена зависимость xп от n для x0 =0,3. В этой зависимости α выбрано равным 0,9, β – равным 0,6. Для этих величин xстац. = 0,6. Уравнение (9.13) запишется следующим образом:
xп+1 = − 0,5 xn + 0,9 (9.19)
Зависимость стремится к xстац.= 0,9/1,5 = 0,6. По характеру зависимость напоминает затухающие колебания.
Интересно отметить, что построенная модель, несмотря на простоту рассуждений, довольно хорошо отражает реальные процессы.
|
Рис.9.8 |
Так, предложенная модель мобилизации использовалась для изучении динамики числа голосов, поданных за демократическую партию в Лейк Кантри (США) в 1920-1968 гг., и оказалось, что она достаточно хорошо описывает качественные характеристики процесса мобилизации.