Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тернопольский национальный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

КПІЗ2.doc

Скачиваний:

Добавлен:

17.11.2019

Размер:

2.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

Змістовий модуль 4. Інтегральне числення.

7. НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ ТА МЕТОДИ ЙОГО ЗНАХОДЖЕННЯ.

Первісна функція та її властивість.
Невизначений інтеграл та його властивості.
Таблиця невизначених інтегралів.
Безпосереднє інтегрування.
Метод підстановки.
Інтегрування частинами.

8. ІНТЕГРУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ДРОБІВ.

Поняття раціонального дробу. Інтегрування найпростіших раціональних дробів.
Інтегрування правильних раціональних дробів.
Інтегрування неправильних раціональних дробів.

9. ІНТЕГРУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ТА ІРРАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ

Інтегрування тригонометричних функцій вигляду:

, , , .

Універсальна тригонометрична підстановка.
Інтегрування найпростіших ірраціональностей. Тригонометричні підстановки.
Поняття про невизначений інтеграл, що не має первісних в елементарних функціях.

10. Знайти невизначені інтеграли:

1. ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

2. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

3. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

4. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

5. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

6. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

7. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

8. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

9. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

10. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

11. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

12. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

13. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

14. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

15. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

16. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ;

17. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

18. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

19. а) ; б) ; в) г) ; д) ; е) .

20. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

21. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

22. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

23. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

24. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

25. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

26. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

27. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

28. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

29. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

30. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

31. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

32. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

33. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

34. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

35. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

11. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ.

Задача про площу криволінійної трапеції.
Задача про об'єм виробництва із змінною продуктивністю праці.
Поняття визначеного інтеграла та його властивості.
Теорема про середнє значення визначеного інтеграла.

12. ЗВ'ЯЗОК НЕВИЗНАЧЕНОГО І ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛІВ

Властивості визначеного інтеграла із змінною верхньою межею.
Формула Ньютона-Лейбніца.
Способи обчислення визначеного інтеграла.

13. ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ. НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ.

Застосування визначених інтегралів для обчислення площ плоских фігур.
Застосування визначеного інтеграла для обчислення об'ємів тіл обертання.
Задача про розподіл доходів населення.
Задача про максимізацію прибутку за часом.
Задача про витрати, дохід і прибуток.
Невласні інтеграли та їх знаходження. Інтеграл Пуассона.

14. Знайти площу фігури, обмеженої заданими лініями:

1. , . 2. , .

3. , , . 4. , , .

5. , , . 6. , .

7. , . 8. , .

9. , , . 10. , .

11. , . 12. , , .

13. , . 14. , , .

15. , . 16. , .

17. , , . 18. , , .

19. , . 20. , .

21. , . 22. , .

23. . 24. .

25. . 26. ; ; ; .

27. , . 28. , .

29. , . 30. , .

31. , . 32. , .

33. . 34. ; ; ; .

35. , (в межах одного періоду).

15. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої лініями:

1. , навколо осі Оy.

2. , навколо осі Ох.

3. , навколо осі Ох.

4. , навколо осі Ох.

5. , , навколо осі Ох.

6. , навколо осі Оу.

7. , , , навколо осі Ох.

8. , , навколо осі Оу.

9. , , навколо осі Ох.

10. навколо осі Оу.

11. , , навколо осі Ох.

12. , навколо осі Ох.

13. , , , навколо осі Оу.

14. , навколо осі Ох.

15. , , , навколо осі Ох.

16. , , навколо осі Ох.

17. , , навколо осі Оу.

18. , навколо осі Ох.

19. (однією півхвилею), навколо осі Ох.

20. , , навколо осі Ох.

21. , , навколо осі Ох.

22. , , , навколо осі Оу.

23. , навколо осі Ох.

24. , навколо осі Ох.

25. , навколо осі Ох.

26. , навколо осі Oy.

27. , , , навколо осі Оу.

28. , навколо осі Оy.

29. (однією півхвилею), навколо осі Ох.

30. , навколо осі Оy.

31. , , навколо осі Оу.

32. , навколо осі Ох.

33. , навколо осі Оy.

34. (однією півхвилею) і відрізком осі Ох навколо осі Ох.

35. , навколо осі Ох.

16. Швидкості зміни витрат і доходу підприємства після початку його діяльності визначались функціями , які вимірювали у мільйонах гривень, а - у роках. Визначити тривалість прибуткового існування підприємства і знайти загальний прибуток, який одержали за цей час:

2. .

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

17. Розв’яжіть задачі з економічним змістом:

1. Гранична ціна за продану продукцію виражена функцією де  кількість проданої продукції. Знайти загальну функцію ціни за продану продукцію, якщо ціна 10 одиниць продукції дорівнює 2000 гривень.

2. Граничні витрати фірми на виготовлення одиниць продукції виражені функцією

Знайти загальні можливі витрати при виробництві 1000 одиниць продукції.

3. Маржинальний річний дохід фірми заданий рівністю

Знайти функцію річного прибутку цієї фірми.

4. Маржинальна функція доходу малого підприємства дорівнює Після реалізації 100 одиниць продукції підприємство одержало дохід 30 тисяч гривень. Визначити функцію доходу цього підприємства. Який дохід одержить підприємство після реалізації 125 одиниць продукції?

5. Маржинальні витрати (у гривнях) взуттєвої фабрики характеризуються функцією , де  кількість пар виготовленого взуття. Знайти функцію загальних витрат фабрики, якщо витрати 50 гривень на пару взуття фіксовані.

6. Денна продуктивність праці (за 7 робочих годин) бригади робочих машинобудівного заводу виражена функцією де  проміжок часу в годинах.

Визначити об’єм випуску продукції протягом року (за 240 робочих днів). Обчислити прибуток, якщо заводська оптова ціна одиниці продукції становить 200 гривень, її собівартість  100 гривень, а кількість бригад – 10.

7. Витрати електроенергії (у кВт) міськими підприємствами і населенням міста з 8 до 18 год. наближено виражені функцією де – проміжок часу в годинах. Визначити вартість електроенергії, спожитої містом, якщо вартість 1кВт/год дорівнює 12 коп.

8. Надходження товару на склад виражене функцією а реалізація цих товарів  функцією де – кількість днів. Визначити запас товару в умовних одиницях після закінчення 60 робочих днів, якщо вихідного товару на складі не було.

9. За даними дослідження в розподілі доходів в одній із країн крива Лоренца описана рівнянням . Тут відсоток населення, а – відсоток доходів населення. Обчислити коефіцієнт Джіні.

10. Нехай , крива Лоренца визначена дослідженням нерівномірного розподілу прибуткового податку.

Тут – відсоток загального прибуткового податку; – відсоток всього населення держави, яка сплачує цей податок. Обчислити коефіцієнт нерівномірності розподілу податку (коефіцієнт Джіні).

11. Капітальні інвестиції фірми “БІОС” характеризуються функцією . Знайдіть:

приріст капіталу за три роки;
проміжок часу, за який приріст становитиме 150000 у.о.

12. Функція маржинальних витрат має вигляд: . Знайти зростання загальних витрат, якщо виробництво зростає з 1000 до 1500 одиниць.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 5. Диференціальні та різницеві

рівняння. Ряди

18. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ І-го ПОРЯДКУ.

Основні поняття про диференціальні рівняння та їх розв'язки.
Геометричний зміст диференціальних рівнянь 1-го порядку. Задача Коші для диференціальних рівнянь 1-го порядку.
Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.
Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку.
Однорідні диференціальні рівняння.
Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь 1-го порядку:

а) задача про швидкість росту затрат виробництва;

б) задача про швидкість зміни кількості населення;

в) задача про визначення вкладу в банк;

г) задача про зростання інвестицій;

д) задача про знаходження функції попиту.

19. ЛІНІЙНІ ДИФРІВНЯННЯ ІІ-го ПОРЯДКУ.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння ІІ-го порядку.
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння ІІ-го порядку.
Основні теореми про розв'язки диференціальні рівняння ІІ-го порядку.
Задача Коші для диференціальні рівняння ІІ-го порядку.
Поняття про комплексні числа.

20. ЛІНІЙНІ ДИФРІВНЯННЯ ІІ-го ПОРЯДКУ З ПОСТІЙНИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ.

Розв'язування лінійних однорідних диференціальних рівнянь ІІ-го порядку з постійними коефіцієнтами.
Розв'язування лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь ІІ-го порядку з постійними коефіцієнтами.

21. РІЗНИЦЕВІ РІВНЯ.

1. Різницеві рівняння І порядку з сталими коефіцієнтами.

2. Різницеві рівняння ІІ порядку з сталими коефіцієнтами.

3. Застосування різницевих рівнянь в економіці (знаходження величини вкладу під складні проценти за визначений проміжок часу).

4. Застосування різницевих рівнянь в економіці (знаходження та аналіз функції рівноважної ціни).

22. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння та розв’язати задачу Коші для рівнянь з вказаними початковими умовами:

1. а) б) ; в) , , ; г)

2. а) при ; б) ; в) , , ;

г) .

3. а) при ; б) ; в) , , ;

г)

4. а) ; б) ; в) , , ; г)

5. а) ; б) при ;

в) , , ; г)

6. а) ; б) ;

в) , , ;

г)

7. а) при ; б) ; в) , , ;

г)

8. а) при ;

б) ; в) , , ; г)

9. а) при ; б) ;

в) , , ; г)

10. а) ; б) при ; в) , , ; г)

11. а) ; б) при ;

в) , , ;

г)

12. а) ; б) при ; в) , , ; г) .

13. а) ; б) при ; в) , , ;

г)

14. а) ; б) ;

в) , , ;

г)

15. а) ; б) при ;

в) , , ; г)

16. а) ; б) ; в) , , ; г)

17. а) ; б) при ;

в) , , ;

г)

18. а) ; б) ;

в) , , ;

г)

19. а) ; б) ; в) , , ;

г)

20. а) ; б) ; в) , , ;

г)

21. а) ; б) при ;

в) , , ;

г)

22. а) ; б) при ; в) , , ;

г)

23. а) ; б) ; в) , , ; г) .

24. а) ; б) ; в) , , ; г) .

25. а) ; б) ; в) , , ; г) .

26. а) ; б) ; в) , , ; г) .

27. а) ; б) ;

в) , , ;

г) .

28. а) ; б) ;

в) , , ; г)

29. а) ; б) ; в) , , ; г)

30. а) ; б) ; в) , , ;

г)

31. а) ; б) ; в) , , ;

г)

32. а) ; б) ; в) , , ; г)

33. а) ; б) ; в) , , ; г)

34. а) ; б) ; в) , , ; г)

35. а) ; б) ; в) , , ; г)

23. Еластичність попиту на певний товар є постійна величина. Визначити функцію попиту якщо:

1. . 2. .

3. , , . 4. , , .

5. , , . 6. , , .

7. , , . 8. , , .

9. , , . 10. , , .

11. , , . 12. , , .

13. , , . 14. , , .

15. , , . 16. , , .

17. , , . 18. , , .

19. , , . 20. , , .

21. , , . 22. , , .

23. , , . 24. , , .

25. , , . 26. , , .

27. , , . 28. , , .

29. , , . 30. , .

31. , , . 32. , , .

33. , , . 34. , .

35. , , .

24. ЧИСЛОВІ РЯДИ ТА ЇX ЗБІЖНІСТЬ.

Поняття числових рядів.
Сума ряду. Збіжність числового ряду.
Необхідна умова збіжності.
Ряд геометричної прогресії,
Гармонічні ряди.
Ознака порівняння рядів.
Ознака Даламбера.
Інтегральна ознака Коші.

25. ЗНАКОЗМІННІ РЯДИ. СТЕПЕНЕВІ РЯДИ.

Поняття про знакозмінні і знакопереміжні ряди.
Ознака Лейбніца.
Абсолютна і умовна збіжність знакозмінних рядів.
Поняття про функціональні ряди та їх збіжність.
Степеневий ряд. Сума степеневого ряду. Радіус та інтервал збіжності степеневого ряду.
Теорема Абеля.
Почленне диференціювання і інтегрування степеневого ряду.

26. ЗАСТОСУВАННЯ СТЕПЕНЕВИХ РЯДІВ.

Ряд Тейлора.
Ряд Маклорена.
Розклад в степеневий ряд функції .
Розклад в степеневий ряд функції .
Розклад в степеневий ряд функції .
Розклад в степеневий ряд функції .
Розклад в степеневий ряд функції .
Розклад в степеневий ряд функції .
Застосування степеневих рядів для наближеного обчислення значень функцій.

10. Застосування степеневих рядів для обчислення визначених інтегралів та границь.

27. Дослідити на збіжність числові ряди: а) за ознакою Даламбера; б) за інтегральною ознакою Коші; в) за ознакою порівняння; г) на умовну та абсолютну.

1. а) ; б) ; в) ; г) .