Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции Усилители.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
16.11.2019
Размер:
860.67 Кб
Скачать

1). Преобразование исследуемой характеристики цепи к билинейной форме (4.3.9).

2). Определение функции чувствительности по заданному параметру.

3). Анализ функции чувствительности в соответствии с поставленной задачей.

Пример.

Пусть задана электронная цепь, которая описывается комплексной частотной характеристикой следующего вида

,

где К – статический коэффициент усиления активного прибора (например, транзистора).

Определить:

  • частоту, на которой относительное изменение коэффициента усиления приводит к максимальному относительному отклонению АЧХ;

  • величину этого отклонения при отклонении коэффициента усиления на 1% (δK=0,01);

  • допустимое отклонение коэффициента усиления при условии δT(ω)=0,03.

Решение

  1. Приводим комплексную частотную характеристику к билинейной относительно коэффициента усиления к форме

.

2. Определяем функцию чувствительности

.

Находим чувствительность АЧХ, как вещественную часть

3. Построив график , определяем, что максимальное отклонение δТ(ω) имеет место при ω=1 ( ) и в соответствии с (4.3.12) при δК=0,01 равно

.

Допустимое отклонение δК при заданном δТ(ω)=0,03 равно:

что указывает на жесткие требования, предъявляемые к активному элементу.

4.3.2. Устойчивость линейных систем с обратной связью

Обратная связь, используемая в усилителях, может стать причиной возникновения незатухающих колебаний, т.е. самовозбуждения. Это может происходить в силу того, что - комплексные величины и для некоторых частот отрицательная обратная связь может стать положительной. Поэтому одной из характеристик линейных активных систем с обратной связью является устойчивость этих систем к внешним и внутренним возмущениям. В дальнейшем цепи, содержащие усилительный элемент, например, полевой транзистор, будем называть активными.

Под устойчивостью цепи с обратной связью понимается его способность, будучи выведенным из состояния покоя внешними или внутренними возмущениями, возвращаться в исходное состояние после прекращения действия этих возмущений.

Для активной линейной цепи, которая описывается однородным дифференциальным уравнением

, (4.3.13)

Передаточная функция в операторном виде имеет вид

. (4.3.14)

Тогда анализ устойчивости сводится к исследованию характеристического уравнения

. (4.3.15)

Необходимым и достаточным условием устойчивости цепи, описываемой уравнением (4.3.13), является отрицательность вещественных частей корней уравнения

, (4.3.16)

соответствующих полюсам передаточной функции цепи обратной связи.

Поэтому переформулируем условие устойчивости.

Необходимым и достаточным условием устойчивости активных линейных систем с обратной связью является расположение полюсов передаточной функции системы в левой полуплоскости комплексного переменного р.

Определение корней уравнения (4.3.16) высоких степеней довольно трудоемкая задача. Поэтому для анализа устойчивости активной цепи с отрицательной обратной связью используются различные критерии в зависимости от поставленной задачи.

Для анализа устойчивости системы при номинальных значениях его элементов используются критерии:

- Рауса-Гурвица (устойчивость цепи определяется по коэффициентам характеристического уравнения);

- Найквиста (устойчивость цепи определяется комплексной частотной характеристикой цепи с обратной связью).

Критерий устойчивости Рауса – Гурвица.

Анализ цепи основан на исследовании главного определителя Рауса -Гурвица

, (4.3.16)

который составляется следующим образом:

- в главную диагональ определителя сверху вниз вписываются все коэффициенты , начиная с в порядке возрастания индекса;

- в первую строку вписываются нечетные коэффициенты ;

- во вторую строку вписываются нечетные коэффициенты , начиная с ;

- третья и четвертая строки заполняются так же, как первая и вторая строка соответственно, но со смещением на один элемент вправо;

- далее строки заполняются аналогично, каждые две строки со смещением вправо на один элемент;

- незаполненные элементы определителя заменяются нулями.

Критерий устойчивости Рауса-Гурвица формулируется следующим образом:

Линейная активная цепь с обратной связью устойчива, если при главный определитель Рауса-Гурвица и все его миноры

и т.д. (4.3.17)

принимают положительные значения.

Критерий устойчивости Найквиста.

Обозначим . (4.3.18)

Построим так, чтобы по оси абсцисс откладывалась величина , а по оси ординат – величина (рис.4.3.2). Длина радиуса – вектора R на заданной частоте ω определяет модуль , а угол между этим радиусом – вектором и положительным направлением оси абсцисс определяет аргумент . Такая кривая называется амплитудно - фазовой характеристикой или годографом усилителя с цепью обратной связи.

А теперь сформулируем критерий Найквиста.

Активная линейная цепь с обратной связью будет устойчивой, если амплитудно-фазовая характерис-тика (годограф) последовательного соединения усилителя и цепи обратной связи (цепь обратной связи разомкнута) охватывает точку с координатами 1, 0, т.е. точка с координатами 1,0 лежит внутри годографа.

Для определения запаса устойчивости линейной цепи с обратной связью воспользуемся методом D-разбиений.

При этом передаточную функцию линейной цепи представим в следующем виде

. (4.3.19)

Потеря устойчивости электронной цепи будет иметь место при обращении знаменателя уравнения (4.3.19) в нуль. При этом

. (4.3.20)

Указанный выше метод состоит в разбиении плоскости изменяющегося от частоты параметра α на ряд областей D(n,N-n). Эти области соответствуют определенным количествам полюсов передаточной функции в левой (n) и в правой (N-n) полуплоскостях комплексного переменного p. Пример построения областей для линейной цепи с передаточной характеристикой второго порядка представлен на рис.4.3.3.

Очевидно, что области устойчивости D(N,0) соответствует расположение всех полюсов в левой полуплоскости (областьD(2,0) на рис.4.3.3).Степень приближения номинального значения элемента αном к критическому значению αкр, соответствующему уходу из области устойчивости D(N,0) количественно отражает запас устойчивости. В случае вещественности α, αкр всегда лежит на пересечении оси Reα с границей области D(N,0). Это позволяет ввести меру запаса устойчивости :

. (4.3.21)

Пример

Линейная цепь, описываемая комплексной частотно характеристикой

,

устойчива при коэффициенте усиления К=2,9.

Определить будет ли она устойчива при К=4 и каков запас устойчивости по коэффициенту усиления.

1. Приведем комплексную частотную характеристику к виду

2. Составим уравнение

  1. Строим границу D-областей, изменяя частоту в последнем уравнении (рис.4.3.4).

4. При номинальном значении коэффициента усиления Kном, линейная

цепь устойчива и область, включающая в себя это значение, является областью устойчивости D(2,0). Значение К=4 лежит в области D(0,2), что соответствует потере устойчивости, т.к. Kкр=3.

5. Запас устойчивости равен

,

Что указывает на близость цепи к потере устойчивости.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.