8.6. Асимптоты графика функции.

Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая следующим свойством. Расстояние от точки до этой прямой стремиться к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Теорема 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (исключая, быть может, саму эту точку), и хотя бы один из пределов функции при (слева) или при (справа) равен бесконечности, т.е. или . Тогда прямая является вертикальной асимптотой графика функции .

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения , если а и b – конечные числа.

Теорема 2. Пусть функция определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .

Если конечен только один из пределов или , то функция имеет лишь левостороннюю или правостороннюю асимптоту.

Теорема 3. Если функция определена при достаточно больших х, и существуют конечные пределы и . Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции.

8.7. Общая схема исследования функций и построения их графиков.

При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

Найти область определения функции.
Исследовать функцию на четность – нечетность.
Найти вертикальные асимптоты.
Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.
Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.

Лекция 9 Дифференциал функции.

9.1. Понятие дифференциала функции.

Дифференциалом функции называется главная линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной