Лекция 5 Функция.
5.1. Понятие множества.
В современной математике понятие множества считается одним из основных. Под множеством понимается такая совокупность (собрание, набор) некоторых объектов, обладающих одним и тем же признаком (характеристическим свойством), что объекты не входящие в этот класс, таковым признаком не обладают.
Это определение нестрогое. Математически строгого определения дать невозможно, так как не существует более широкого понятия, чем множество.
Объекты, составляющие некоторое множество, называются его элементами (точками).
Определить
множество – значит, относительно любого
предмета ответить на вопрос: принадлежит
он данному множеству или не принадлежит?
Принадлежность элемента множеству
можно записать коротко:
(х принадлежит множеству А) и
(х не принадлежит множеству А).
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .
Если
любой элемент множества В является
элементом множества А, то множество
В называется подмножеством множества
А и обозначается
.
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Операции над множествами.
Пусть
даны два множества А и В. Например,
,
Объединением
множеств А и В называется
множество
,
состоящее из всех элементов, принадлежащих
хотя бы одному из множеств А или В.
Пересечением
множеств А и В называется
множество
,
состоящее из всех элементов, одновременно
принадлежащих и множеству А и
множеству В.
Разностью
множеств А и В называется
множество
,
состоящее из элементов множества А,
не принадлежащих множеству В.
,
Дополнение множества.
Рассмотрим некоторую систему множеств. МножествоU называется универсальным множеством для этой системы, если каждое множество системы является подмножеством U.
Дополнением
множества А называется множество
,
состоящее из тех и только тех элементов
универсального множества, которые не
входят в множество А.
Пусть
,
,
тогда
Свойства операций над множествами.
1. Коммуникативность
или
2. Ассоциативность
или
3. Дистрибутивность
или
4. Свойства поглощения
; 
;
; 
5. Свойства пустого множества
, 
6. Свойства универсального множества
7. Законы де Моргана
и
8. Свойства дополнений
;
; 
Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми.
N –множество натуральных чисел; Z – целых чисел; Q – рациональных чисел; R – действительных чисел; I – иррациональных чисел.
.
Множество
Х, элементы которого удовлетворяют:
неравенству
,
называется отрезком
;
неравенству
– интервалом
;
неравенству
(
)
– полуинтервалом
.
Всякий интервал, содержащий точку а, называется окрестностью точки а.
Интервал
,
т.е. множество точек х таких, что
(где
),
называется
-окрестностью
точки а.
5.2. Понятие функции. Основные свойства функции.
Пусть
дано некоторое множество Х и пусть
указано некоторое правило (закон),
обозначаемое буквой f,
по которому каждому значению величины
х (независимой переменной) из
множества Х ставится в соответствие
единственное значение величины у
(зависимой переменной), обозначаемое
.
Тогда говорят, что дана функция
с областью определения Х. Множество
Y, состоящее из всех
значений у, называется множеством
значений функции.
Существует несколько способов задания функции: аналитический, табличный, графический, словесный.
Свойства функции.
Функция
называется четной, если для любых
значений х из области определения
и нечетной, если
.
Функция
называется возрастающей на промежутке
Х, если большему значению аргумента
из этого промежутка соответствует
большее значение функции.
.
Функция
называется убывающей на промежутке Х,
если большему значению аргумента из
этого промежутка соответствует меньшее
значение функции.
.
Функция
называется неубывающей на промежутке
Х, если
.
Функция
называется невозрастающей на промежутке
Х, если
.
Функция
называется ограниченной на промежутке
Х, если существует такое число
,
что
для любого
.
Функция
называется периодической с периодом
,
если для любых х из области определения
функции
.