5.3. Основные элементарные функции. Классификация функций. Преобразование графиков.

Функция называется явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной.

Функция у аргумента х называется неявной, если она задана уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной.

Обратная функция. Пусть есть функция от независимой переменной х, определенной на множестве Х с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому единственное значение , при котором . Тогда полученная функция , определенная на множестве Y с областью значений Х, называется обратной.

Для любой строго монотонной функции существует обратная функция.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Сложная функция. Если функция есть функция, определенная на множестве U с областью значений Y, а – функция, определенная на множестве X с областью значений U, то заданная на области X функция называется сложной функцией.

Основные элементарные функции.

1. с тепенная функция

2. показательная функция

3. л огарифмическая функция

4. т ригонометрические функции

5. обратные тригонометрические функции

Функции, построенные из основных элементарных функций при помощи конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

Лекция 6 Пределы и непрерывность.

6.1. Предел числовой последовательности.

Если по некоторому закону каждому натуральному числу п поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность . Другими словами, числовая последовательность – это функция натурального аргумента .

Рассмотрим последовательность

Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется номер N, зависящий от , что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство .

Предел числовой последовательности обозначается . Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Геометрический смысл предела числовой последовательности заключается в следующем. Число А есть предел числовой последовательности , если для любого найдется номер N, начиная с которого все члены последовательности будут заключены в

-окрестности точки А, какой бы узкой она не была.

6.2. Предел функции в бесконечности и в точке.

Ч исло А называется пределом функции при х стремящемся к бесконечности , если для любого, даже сколь угодно малого числа , найдется такое число (зависящее от ), что для всех х таких, что , будет верно неравенство . Такой предел обозначается .

Г еометрический смысл предела в бесконечности. Число А называется пределом функции при х стремящемся к бесконечности , если для любого , найдется такое число (зависящее от ), что для всех х таких, что , соответствующие ординаты графика функции будут заключены в полосе , какой бы узкой эта полоса не была.

Число А называется пределом функции при х стремящемся к , если для любого, даже сколь угодно малого числа , найдется такое число (зависящее от ), что для всех таких, что , выполняется неравенство . Такой предел обозначается .

Геометрический смысл предела функции в точке. Число А называется пределом функции при , если для любого , найдется такая -окрестность точки , что для всех из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции будут заключены в полосе , какой бы узкой эта полоса не была.