- •Введение
- •Глава I. Основы линейной алгебры
- •1. Матрицы и действия над ними
- •2. Определители второго и третьего порядка. Обратная матрица
- •3. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Формулы Крамера
- •3.2 Матричный способ решения системы линейных алгебраических уравнений
- •4. Метод Гаусса решения произвольных систем линейных алгебраических уравнений
- •5. Собственные числа и собственные векторы матрицы
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Комплексные числа
- •1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
- •2. Аналитическая геометрия на плоскости
- •3. Линии второго порядка
- •4. Полярная система координат
- •5. Комплексные числа
- •Глава 3. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •1. Предел функции
- •2. Непрерывность функции
- •3. Дифференцирование функций
- •5. Исследование функций
- •Задачи для контрольных работ Контрольная работа №1 Основы линейной алгебры
- •Контрольная работа №2 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Комплексные числа
- •Контрольная работа № 3 Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
2. Аналитическая геометрия на плоскости
Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид
, где .
Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором прямой на плоскости.
Уравнение вида , где , , , называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом, имеет вид:
.
Угол между прямыми , определяется следующим образом:
.
Задание 2. Даны уравнения двух высот треугольника и , и одна из вершин . Составить уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.
Решение. По условию задачи нам известны: , CD: и BE: . Определим уравнение стороны AB. Высота CD перпендикулярна стороне AB, а потому их угловые коэффициенты и удовлетворяют условию: . Из уравнения прямой CD следует, что . Тогда .
Напишем уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом:
.
Подставив в это уравнение координаты точки А и угловой коэффициент ,получим уравнение стороны АВ:
или
.
Аналогично можно получить и уравнение стороны АС. Действительно, в силу перпендикулярности ВЕ и АС имеем: . Из уравнения высоты ВЕ следует, что . Тогда . Следовательно, подставив в уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом, координаты точки А и угловой коэффициент , получим уравнение стороны АС:
или
.
Теперь составим уравнение стороны ВС. Для этого определим координаты вершин В и С треугольника АВС. Координаты точки В можно определить из условия пересечения прямых АВ и ВЕ:
.
Решение полученной системы и есть координаты вершины , а именно .
Таким же образом определяем координаты точки С:
и тогда С .
Уравнение прямой, проходящей через точки В и С, имеет вид :
,
где B , C .
Подставив координаты точек В и С в данное уравнение, получим уравнение стороны ВС:
или
.
Сделаем теперь чертеж:
3. Линии второго порядка
К линиям второго порядка относят окружность, эллипс, гиперболу и параболу.
Каноническое уравнение окружности имеет вид
,
где r- радиус окружности.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид
где .
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
,
где .
Каноническое уравнение параболы имеет вид
а) , где > 0 ( парабола симметрична относительно оси );
б) (парабола симметрична относительно оси ).
Задание 3. Составить уравнение линии, каждая точка которой одинаково удалена от точки и прямой . Сделать чертеж.
Решение Пусть М (x, y) – любая точка искомой линии, - основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую y . Тогда точка имеет координаты . Расстояние от точки М до прямой есть расстояние между точками М и N:
.
Теперь определим расстояние между точками М и :
.
По условию задачи . Следовательно, для любой точки справедливо равенство:
или
.
Окончательно,
.
Полученное уравнение является уравнением параболы с вершиной в точке . Действительно, сделаем замену
.
Тогда уравнение примет вид:
(каноническое уравнение параболы ).