Побудуємо таблицю для обчислення різниць

Таблиця 1

x	У	Δy	Δ2y	Δ3y
2 3 4 5	0.6931 1,0986 1,3863 1.6094	4055 2877 2231	—1178 —646	532

Тут n=З, h = 1 і в силу (2.20):

P₃(x)=0,6931+0,4055(х-2)–0,78/2*(х-2)(х-3)+0,0532/6**(x-2)(x-3)(x-4).

Приклад 3. У попередньому прикладі оцінити погрішність інтерполяційного многочлена Ньютона при x=3,5

Для оцінки погрішності скористаємося нерівністю

|R ₃ (3,5)|≤М₄(2; 5)-

Відповідно А₄(х)=(х-2) (х-3)(х-4)(х-5)

і | А₄ (3,5) | = 1,5*0,5*0,5*1,5 = 0,5625,

f(x)=lnx, f’(x)=1/x, f’’(x)=-1/x², f’’’(x)=2/x³, f(4)=-6/x⁴

Звідси М₄(2; 5)=3/8 і остаточно |R ₃ (3,5)|≤3/8*0,5625/4= 0,0088.

Насправді погрішність небагато менше. Визначаючи In3,5 по чотиризначних таблицях, знайдемо

In 3,5—Р_з (3,5) =1,2528-1,2552=—0,0024.

Приклад 4. Обчислити в точках х =0.1, 0.9 значення функції у=f(x), заданої табл. 2, процес обчислень зручно звести в табл. 2.

Кожна наступна скінченна різниця виходить шляхом вирахування в попередній стовпчику верхнього рядка з нижньої.

Таблиця 2

х	y	Δу	Δ2у	Δ3y	Δ4y	Δ5y
0	1.2715	1.1937	-0.0146	0.0007	-0.0001	0.0000
0.2	2.4652	1.1791	—0.0139	0.0006	-0.0001
0.4	3.6443	1.1652	—0.0133	0.0005
0.6	4.8095	1.1519	—0.0128
0.8	5.9614	1.1391
1.0	7.1005

При х = 0.1 маємо t =(x-x₀)/h =(0,1-0)/0.2 =0.5. По формулі (2.24) одержимо

f(0,1)=P₄(0,1)= 1.2715 + 0.5*1.1937 + (- 0.0146) +

+ *0.0007+ (-0.00004)=- 1.8702.

Для порівняння по формулі лінійної інтерполяції одержуємо

f(0,1)= 1.8684

Значення функції в крапці х = 0.9 потрібно обчислювати по формулі (2.30). У цьому випадку маємо t = (x-x_n)/h= (0.9 - 1) /0.2= -0.5. Тоді

F(0,9)= P_n(0.9) = 7.1,005 - 0.5.1.1391 - (-0.0128)-

- 0.0005- (-0.0001)=

=7.1005 - 0.5698 + 0.0016 -і 0.00003 +0.000004=6.5325

Ми розглянули побудову інтерполяційного многочлена Ньютона для рівновіддалених вузлів.

28