Розділ 4. Чисельне інтегрування функцій

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ

Якщо функція f неперервна на відрізку [а,b] і відома й первісна F'(x)=f(x), to справедлива формула Ньютона— Лейбніца:

= F(b) - F(a). (4.1)

Проте цією формулою важко і навіть практично неможливо скористатися тоді. коли первісну F не можна виразити в елементарних функціях, як, наприклад, у таких інтегралах , ; підінтегральну функцію f задано таблично або графічно і її аналітичний вираз невідомий; аналітичний вираз первісної F досить складний і незручний для обчислень.

У цих випадках треба будувати формули для наближеного обчислення визначених інтегралів. Особливо важливе значення мають методи чисельного інтегрування функцій, в яких для знаходження наближеного значення визначеного інтеграла використовуються значення підінтегральної функції та її похідних у скінченній кількості точок, що належать переважно проміжку інтегрування. Такі формули обчислення наближеного значення визначених інтегралів називають формулами механічних квадратур, або квадратурними формулами.

Найчастіше застосовують квадратурні формули, в яких використовуються значення підінтегральної функції f в окремих точках відрізка інтегрування, тобто формули вигляду

(4.2)

Суму в правій частині (4.2) називають квадратурною сумою, дійсні числа х_k і А_k відповідно вузлами і коефіцієнтами квадратурної формули. Вважатимемо, що вузли квадратурної формули (4.2) пронумеровано в порядку зростання х₁ < х₂ < ... < х_n:

Рівність (4.2) наближена. Різницю між визначеним інтегралом і квадратурною сумою

R_n(f)=

називають залишковим членом, або похибкою квадратурної формули (4.2).

Крім похибки, яка виникає від заміни інтеграла квадратурною сумою (похибки методу │Rn(f)│), є похибка, яка зумовлена виконанням арифметичних дій над наближеними числами — значеннями f(x_k). Якщо абсолютні похибки значень f(x_k) дорівнюють Δ_f, то абсолютна похибка квадратурної суми дорівнюватиме

Це так звана неусувна похибка, яка зумовлена наближеними значеннями f(x_k). У процесі обчислень виникає ще похибка за рахунок округлення проміжних результатів. Цю похибку можна зробити значно меншою порівняно з неусувною, якщо проміжні обчислення виконувати із запасними цифрами, які відкидають в остаточному результаті. Оцінюючи похибки чисельного інтегрування, треба враховувати також і похибку остаточного округлення Δо. Отже, повна похибка чисельного інтегрування Δ_i дорівнює сумі названих вище трьох похибок, тобто

Δ_i=│Rn(f)│+ + Δо = │R(f)│+ + Δо (4.3)

Для побудови квадратурних формул виду (4.2) часто вдаються до параболічного інтерполювання підінтегральної функції f. Для цього на проміжку [а;b] вибирають скінченну послідовність точок х_о, х₁, х₂, ... , х_п і будують інтерполяційний многочлен Лагранжа

Р_п (х) =  L_n(Х, Xi)* Yi = L_n (х, х_о) у ₀ + L_n (х, x₁)y₁+• • • + L_n (х, x_n)y_n=

Тоді

f(x)

+R_n(f,x)

де R_n(f,x)— залишковий член (похибка) інтерполювання.

Проінтегрувавши останню рівність по х, у межах від а до b, дістанемо

+R_n(f) (4.4)

де

A_k

(4.5)

R_n(f)= . (4.6)

Якщо залишковий член Rn(f,x) інтерполювання функції f досить малий на всьому проміжку [а;b], то у формулі (4.4), яка є точною рівністю, доданком Rn(f) можна знехтувати. Тоді дістанемо наближену рівність

(4.7)

Квадратурну формулу (4.7), коефіцієнти якої обчислюють за формулами (4.5), називають інтерполяційною. Коефіцієнти інтерполяційних квадратурних формул залежать лише від вибору вузлів інтерполяції, але не від вигляду підінтегральної функції.

Справедлива теорема, яку подамо без доведення.

Теорема. Щоб квадратурна формула (4.7) з n+1 вузлом була інтерполяційною, необхідно й достатньо, щоб вона була точною, коли f є многочленом степеня, не вищого за n.

Якщо межі інтегрування а і b є вузлами інтерполювання, то квадратурну формулу (4.7) називають формулою замкнутого типу, в противному разі — відкритого типу.

З формули (4.5) для обчислення коефіцієнтів Ak квадратурної формули (4.7) видно, що значення коефіцієнтів A_k не залежать від вибору підінтегральної функції f , а залежать лише від вибору вузлів x_k (k =0,1, ... , n). Обчисливши значення коефіцієнтів А_k (k=0,1, ... ,n) один раз, формулою (4.7) можна користуватися для обчислення наближених значень визначених інтегралів різних функцій f.

Формула (4.7) точна для многочлена п-го степеня, бо тоді f(x)≡Ln(x) (похибка інтерполювання Rn (f,x) =0). Зокрема, формула (6.7) точна, коли f(x)=x^k (k =0.1, ... , п). Проте, Rn(xⁿ⁺¹) ≠0.

Кажуть, що квадратурна формула має алгебраїчний степінь точності n, якщо вона точна для f(x )= х^k (k=0,1, ... , n) (або, що те саме, для будь-якого многочлена степеня, не вищого за n), і не дає точного результату для f(x )= xⁿ⁺¹. Отже, інтерполяційні квадратурні формули з n+1 вузлом мають алгебраїчний степінь точності, не менший за n.