Другий інтерполяційний многочлен ньютона

Якщо значення аргументу лежить ближче до кінця відрізка інтерполювання, то застосовувати першу інтерполяційну формулу Ньютона невигідно, бо не вистачатиме скінченних різниць функції вищих порядків. Якщо, наприклад, треба обчислити значення функції в точці хє[x_n-1,x_n], то для першого інтерполяційного многочлена Ньютона є лише перша і друга різниці функції.

Тому в кінці відрізка інтерполювання користуються многочленом вигляду

Р_n(х) = bо+b₁(х— х_n)+b₂(х—х_п)(х— x_n-1)+ • • •+

+b_k(x— х_п)• • •(х — x_n-(k-1))+• • •+b_n(x-x_n)• • •(x-x₁) (2.27)

Коефіцієнти bо, b₁, ... , b_n многочлена (2.27) визначають так, щоб .його значення в рівновіддалених вузлах інтерполювання збігалося із значенням відповідної функції, тобто щоб виконувались умови Р_п (Х_i) = У_i, (i=0,1, ... ,n).

Підставивши послідовно в формулу (2.27) замість х значення х_n, х_n-1,…, х₁, знаходимо коефіцієнти bо, b₁, ... , b_n . Якщо в (2.27) покласти х = х_п, , то дістанемо

Р_n (Х_п)=b₀,, b_o = Р_п (Х_n) = У_п .

Аналогічно, поклавши х = x_n-1 , маємо

Р_n(х_n-1) = b_о+b₁(х_n-1— х_n)=b₀-b₁h , y_n-1-y_n=-b₁h , тому b₁=y_n-1/h

Поклавши в (2.27) х =x_n-2 і замінивши коефіцієнти b_о, b₁ їх значеннями, дістанемо

b₂=²y_n-2/2h²

Взагалі, коли х =x₀ із (2.27) знаходимо

b_n=ⁿy₀/n!hⁿ

Підставивши значення цих коефіцієнтів в (2.27), маємо

P_n (X) = у_п +y_n-1/h (X - Х_п) + ... + ⁿy₀/n!hⁿ (X - Х_п) ...(Х-Х₁) (2.28)

Цей многочлен і називають другим інтерполяційним многочленом Ньютона. Замінивши функцію f(x) другим інтерполяційним многочленом Ньютона, дістанемо наближену рівність

f(x)≈P_n(x). (2.29)

Рівність (2.28) називають другою інтерполяційною формулою Ньютона, а різницю f(x) — Рn(х) = Rn(x,f) — залишковим членом цієї формули.

З формул (2.28) і (2.29) для n=1 дістанемо формулу лінійного інтерполювання

f(x)≈ у_п +y_n-1/h (X - Х_п) ,

а для п = 2 — квадратичного інтерполювання

f(x)≈ P_n (X) = у_п + y_n-1 (X - Х_п) + y_n-2 (X - Х_п) (Х-Х_n-₁)

У практичних обчисленнях зручніше користуватися іншим записом многочлена (2.28). Якщо ввести таке позначення t =(x-x_n)/h або th= (x-x_n)

А сам многочлен (2.28) тоді набирає вигляду

P_n(x)=P_n(x_n+th)=y_n+y_n-1*t+ *²y_n-2*t(t+1)+…+ *ⁿy_0*t(t+1)…(t+n-1)

(2.30)

До виразів многочлена (2.28) і (2.30) входять різниці y_n-1, ²y_n-2, ... , ⁿy₀, які розміщуються в діагональній таблиці різниць по діагоналі знизу вгору, тому формулу (2.30) використовують для інтерполювання в кінці таблиці. Якщо треба обчислити значення функції в точці х, то за х_п беруть найближче, але більше за х значення аргументу з таблиці, так, щоб хє(х_п-1;х_п) і │t│ < 1. Тому формулу (2.30) називають також інтерполяційною формулою Ньютона для інтерполювання назад.

Оскільки інтерполяційні многочлени Лагранжа і Ньютона є різними формами запису одного й того самого інтерполяційного многочлена, то оцінка залишкового члена формули Ньютона буде такою самою, як і для формули Лагранжа, побудованої для тієї самої функції й тієї самої системи вузлів. Тому для абсолютної похибки інтерполяційної формули (2.30) справедлива оцінка

|R_n (х)| = |R_n(x_n+ th)| < (2.31)

де M_n+1 = max |f⁽ⁿ⁺¹⁾ (х)|

Якщо похідна функції невідома, але є табличні різниці функції до (n+1)-го порядку, то залишковий член Rn(x;f) інтерполяційної формули (2.31) можна подати наближено формулою

R n(x;f)≈

Приклад 2. Побудувати інтерполяційний многочлен Ньютона для функції f(x)=lnx з вузлами x=2, 3, 4, 5. Значення функції у вузлах інтерполяції

х	2	3	4	5
y	0,6931	1.0986	1,3863	1.6094