Скінченні різниці та їх властивості

Нехай у_і (і =0,1, ... , п) — значення функції у =f (x) , обчислені для рівновіддалених значень аргументу хі (і= 0,1, ... , n), Х₁=Х₀+h, X₂= X₀+2h, •••, Xn=X_n-1 +h= X₀₊nh, де h — крок таблиці.

Скінченними, або табличними різницями першого порядку, або першими різницями називають числа, які дорівнюють приростам значень функцій:

У₁ — У _о =y₀

У₂ — У ₁=y₁

………………

У_i+1 — У _i=y_i (2.11)

………………

У_n — У _n-1=y_n-1

Прирости різниць першого порядку називають різницями другої порядку, або другими різницями:

y₁ -y₀ =²y₀ , y₂ -y₁ =²y₁ ,…, y_n-1 -y_n-2 =²y_n-2 (2.12)

Взагалі, різниці будь-якого порядку k утворюються через різниці k-1 -го порядку за формулами ^

^к-1y_i+1 -^k-1y_i =^ky_i (k=1,…n, i=0,…n-(k-1)) (2.13)

Послідовні різниці зручно записувати у вигляді таблиць. Використовують дві форми таблиць: діагональну і горизонтальну .

Діагональну таблицю різниць дістають тоді, коли табличні різниці в кожному стовпці записують між відповідними значеннями зменшуваного і від'ємника. В горизонтальній таблиці табличні різниці записують в одному рядку з від'ємником.

Як у діагональній, так і в горизонтальній таблицях скінченні різниці всіх порядків умовимось записувати в одиницях нижчого розряду значень функцій у вузлах інтерполювання. Далі дотримуватимемося цього правила.

Зв'язок між похідними функції і скінченними різницями.

Нехай функція f має на відрізку [a;b] неперервні похідні до порядку п включно. 3 означення похідної випливає, що

де f(x) = f(x+h) - f(x), x,x+h Є [a;b]. Для малих значень h звідси випливає наближена формула

(2.14)

Знайдемо тепер

=

де х, х+h і x+2lh Є [a;b]. При сталому значенні х і h 0 чисельник і знаменник цього дробу прямують до нуля. Для розкриття невизначеності типу застосуємо двічі правило Лопіталя. Дістанемо

= = =f"(x)

Звідси для досить малих h маємо наближену формулу

f”=²f(x)/h² (2.15)

Аналогічними міркуваннями для будь-якого натурального п можна дістати наближену формулу

f⁽ⁿ⁾=ⁿf(x)/hⁿ (2.16)

За формулами (2.14) — (2.16) можна обчислити наближене значення дохідних, але їх точність (для n>1) досить низька. Тому в обчислювальній практиці використовують точніші формули .

З формул (2.14) — (2.16) випливає, що із зменшенням кроку таблиці h у λ раз перші різниці зменшуються приблизно в λ раз, другі — в λ ², треті — в λ ³ раз і т.д. Якщо, крім того, із зростанням порядку похідної їх модулі зростають повільно (не надто швидко), а крок таблиці досить малий, то модулі різниць із зростанням їх порядку зменшуватимуться. Тому при деякому l різниці Δ^lу стануть меншими за половину одиниці нижчого розраду табличних значень функцій, і тому з прийнятою точністю слід вважати, що вони дорівнюють нулю, а різниці (l-1)-го порядку — сталі.

Але значення функції в таблиці подають здебільшого наближено, тому при обчисленні скінченних різниць похибка зростає. Якщо. наприклад, похибка округлення табличних значень функції дорівнює половині одиниці нижчого розряду, то похибка перших різниць дорівнюватиме вже одній одиниці нижчого розряду (при виконанні операції алгебраїчного додавання похибки додаються), похибка других різниць — 2 одиницям нижчого розряду, третіх — 4 одиницям і т.д., а похибки скінченних різниць порядку l дорівнюють 2^l-1 одиниць нижчого розряду табличних значень функції.

З цього випливає, що, коли, наприклад, четверті різниці точних значень функції відрізняються одна від одної менше, ніж на половину одиниці нижчого розряду, то ці самі різниці, але обчислені для наближеного значення функції (абсолютна похибка яких дорівнює половині одиниці нижчого розряду), можуть відрізнятися одна від одної вже на 2⁴=16 одиниць нижчого розряду табличних значень функції.

Тому є підстави дати таке означення практично сталих різниць: якщо на деякій частині таблиці всі скінченні різниці l-го порядку відрізняються одна від одної не більш як на 2^l одиниць нижчого розряду табличних значень функції, то ці різниці називаються практично сталими.

Тоді різниці (l+1)-го порядку не треба обчислювати, бо вони складатимуться лише з сумнівних цифр, а тому в межах даної точності вважають, що вони дорівнюють нулю і не беруть їх до уваги.

Властивості скінченних різниць:

1. Скінченні різниці сталої С дорівнюють нулю, тобто Δ^kС = 0.

2. Сталий множник С можна виносити за знак скінченної різниці

Δ^k(Сf(x))=CΔ^kf(x) .

3. Скінченні різниці алгебраїчної суми функцій дорівнюють алгебраїчній сумі скінченних різниць цих функцій, тобто

.

Ці мастивосгі випливають з означення скінченних різниць.

4. Скінченна різниця функції f(x)=xⁿ

(2.17)

Справді,

=(x+h)ⁿ-xⁿ

Розклавши за формулою бінома Ньютона вираз (x+h)ⁿ; дістанемо формулу (2.17)