КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра физики,

математики и информатики

Учебно-методическое пособие для преподавателей

к практическим занятиям

по курсу

МАТЕМАТИКИ

Занятие №4.

Полная вероятность. Формулы Байеса. Повторные испытания

Цель: Приобретение навыков в решении задач с использованием изученных формул.

Краткая теория. Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступать при условии появления одного из событий Н₁, Н₂,…Н_n, которые образуют полную группу. Поскольку заранее неизвестно, с каким из этих событий вместе наступает событие А, их называют гипотезами. Пусть известны вероятности этих гипотез Р(Н₁), Р(Н₂),…,Р(Н_n) и условные вероятности события А по отношению к этим гипотезам Р(А/Н₁), Р(А/Н₂),…,Р(А/Н_n). Тогда вероятность события А равна:

3.1

Пример. Имеется три одинаковых ящика. В первом ящике 8 белых, 4 черных шаров, во втором – 7 белых и 5 черных, в третьем 6 белых и 6 черных. Какова вероятность того, что, выбрав наудачу один из ящиков, случайно извлечем из него белый шар?

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что взятый шар будет белым. Здесь возможны гипотезы:

Н₁ – шар (любой) будут выбирать из первого ящика,

Н₂ – шар (любой) будут выбирать из второго ящика,

Н₃ – шар (любой) будут выбирать из третьего ящика.

Очевидно, при равновозможности выбора любого ящика

Р(Н₁)=Р(Н₂)=Р(Н₃)=1/3

Вероятность того, что взятый шар белый, при условии, что он был извлечен из первого ящика

Аналогично: ;

Подставляя полученные числа в формулу (3.1), получим:

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий Н₁,Н₂,…,Н_n, образующих полную группу. По той же причине, что и выше, будем называть их гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности. Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Определим, вероятности гипотез в связи с тем, что событие А появилось, т. е. Р(Н₁/А), Р(Н₂/А),…,Р(Н_n/А).

По теореме произведения для зависимых событий, вероятность одновременного появления событий А и Н₁ равна

Следовательно, искомая вероятность:

Аналогично получим: ,…,

,

3.2

здесь Р(А) определяется по формуле полной вероятности. Формулы (3.2) называются формулами Байеса. Они позволяют оценить вероятности гипотез после того, как появилось событие А.

Пример решения задачи. Рассмотрим предыдущий пример. Допустим, что событие А наступило, т.е. вынутый шар оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар был вынут из первого ящика будет равна

Повторные испытания

В практике часто приходится иметь дело с многократным повторением одного и того же опыта по возможности в одних и тех же условиях. Повторяющиеся испытания, в каждом из которых может произойти или не произойти случайное событие А, называют независимым по отношению к событию А, если вероятность события А в каждом испытании не зависит от того, появилось или не появилось это событие в других испытаниях. Повторные, независимые испытания называются испытаниями по схеме Бернулли, если при каждом испытании возможны только два исхода (успех и неудача) и вероятности каждого из этих исходов остаются неизменными во всех испытаниях.

Теорема. Вероятность того, что n испытаний Бернулли приведут m раз к успеху, равна:

, m=0, 1, 2…,n,

3.3

где p и q =1-p, соответственно вероятности успеха и неудачи в каждом испытании.

Вероятность того, что событие А появится не более раз (т. е.0 раз, или 1 раз, или 2 раза, …, или раз), по теореме сложения вероятностей равна

3.4

Пример. Монету подбрасывают три раза. Успехом будем считать выпадение герба. Отсюда р=0,5, q=1-0,5=0,5.. Вероятности того, что в трех опытах герб выпадет 0, 1, 2, 3 раза, соответственно равны

Вероятность того, что герб выпадет не менее двух раз, равна

Из результатов вычислений видно, что в результате трех подбрасываний монеты, герб, скорее всего, выпадет 1 раз или 2 раза. Т.е. m=1; 2 является наивероятнейшим числом появления герба в трех испытаниях. Наивероятнейшее число появления некоторого события в n опытах можно найти с помощью неравенства:

3.5

где n – число испытаний, р – вероятность успеха в каждом опыте, q=1-p. Разность между значениями левой и правой частями неравенства равна

- целое число. Если лежит между дробными величинами, то оно единственно, если лежит между целыми величинами, то оно имеет два значения.

В только что рассмотренном примере =1; 2. Проверим это с помощью неравенства 3.5

, , ;  т.е. =1; 2.

Задачи для самостоятельного решения и решения у доски.

1. На склад поступила партия медикаментов от двух поставщиков. 70% - от одного и 30% - от другого. Дефекты расфасовки медикаментов соответственно равны 0,05% и 0,02%. Найти вероятность того, что взятая наугад упаковка не имеет дефектов.

2. В белом ящике лежит 12 красных и 6 синих, одинаковых на ощупь шаров; в желтом ящике – 15 красных и 10 синих. Бросают игральную кость. Если число выпавших очков кратно трем, то наудачу вынимают шар из белого ящика. Если число выпавших очков не кратно трем, то вынимают наудачу шар из желтого ящика. Какова вероятность того, что вынутый шар красный?

3. Пассажир может приобрести билет в одной из двух касс. Вероятность его обращения в первую кассу составляет 0,4 , а во вторую 0,6. Вероятность того, что в кассах билетов уже нет - такие: для первой – 0,1, для второй – 0,5. Пассажир обратился в одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что он приобрел билет в первой кассе?

Вероятности, что билеты присутствуют в кассах: для первой – 0,9; для второй – 0,5.

4. Для участия в студенческих отборочных, спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй 6, а из третьей 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей групп попадет в сборную института, соответственно равны 0,9, 0,7, 0,8. В итоге соревнований один из студентов попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежит студент?

5. В семье имеющей троих детей, определить вероятность того, что среди них будут: а)три девочки; б)не менее одного мальчика. Вероятность рождения девочки принять равной 0,49.

6. Полагая, что выпадение герба или цифры при подбрасывании монеты равновероятны, определить вероятность того, что при пяти подбрасываниях монеты герб выпадет: а) три раза; б) не менее двух раз.

7. Вероятность успешного проведения операции равна 0,9. Определить наивероятнейшее число успешных операций среди 15 проведенных. И найти соответствующую вероятность.

8. Сколько нужно посеять семян, всхожесть которых 70%, чтобы наивероятнейшее число взошедших было равно 60?

9. Что вероятнее – выиграть у равносильного противника (ничейный результат исключается): а) три партии из четырех или пять из шести; б) две партии из четырех или три из шести?

Случайные величины. Законы распределения. Числовые характеристики случайных величин.

Цель: Приобретение навыков в решении задач с использованием изученных формул.

Краткая теория.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее, какое именно.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, принимающая отдельные друг от друга значения, которые можно перенумеровать.

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, которая может принять любое значение из некоторого промежутка.

Законом распределения случайной величины называется всякое правило, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может иметь разные формы.

1. Р ядом распределения дискретной случайной величины Х называется таблица, где перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины х₁, х₂,…, х_n с соответствующими им вероятностями р₁, р₂,…, р_n

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

где р_i=P(X=x_i); p₁+p₂+…+p_n=1.

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.

2. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), выражающая вероятность того, что Х примет значение, меньшее х:

4.1

Свойства функции распределения F(x).

1. Функция F(х) есть неубывающая функция;

2. F (– ∞) = 0, F (+ ∞) = 1.

3. Вероятность попадания случайной величины Х на участок от α до β выражается формулой

4.2

Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция f (x) = F′ (x).

Свойства плотности распределения f(x).

1. f(x)≥0,

   .

   4.3

2. Вероятность попадания случайной величины х на участок от α до β выражается формулой

.

4.4

График плотности f(x) называется кривой распределения.

4. Функция распределения F(x) выражается через плотность распределения формулой

.

4.5

Математическим ожиданием случайной величины Х называется ее среднее значение, вычисляемое по формулам:

	— для дискретной случайной величины;	4.6
	— для непрерывной случайной величины.	4.7

Дисперсия, используемая в качестве характеристики рассеяния случайной величины, равна

Дисперсия вычисляется по формулам:

для дискретной случайной величины

или ;

4.8

для непрерывной случайной величины

или .

4.9

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии

Пример. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х	2	4	7
Р	0,5	0,2	0,3

Найти функцию распределения F(х), математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х).

Решение.

1)Величина Х значений, меньших 2, не принимает. Следовательно если х≤2, то F(x)=P(X<x)=0.

2) Если 2<x≤4, то F(х)=0,5, т.к. Х может принять значение 2 с вероятность 0,5.

3)Если 4<x≤7, то Х может принять значение 2 с вероятностью 0,5 или 4 с вероятностью 0,2. Следовательно F(х)=0,7. 4) Если x>7, то F(х)=1.

Искомая функция

Применяя формулу (4.6) найдем М(Х)=2*0,5+4*0,2+7*0,3=3,9.

По формуле (4.8): D(Х)=4*0,5+16*0,2+49*0,3-(3,9)²=4,69

Задачи для самостоятельного решения и решения у доски.

1. Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 5 очков. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию. Построить полигон распределения.

2. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Найти F(x) и построить её график.

3. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных. Найти М[X], D[X] и σ_х.

4. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение: а)меньшее 0,2; б) меньшее 3; в) не меньшее 3; г) не меньшее 5.

5. Случайная величина Х в интервале (1, 2] задана плотностью распределения f(x)= x - 0,5; вне этого интервала f(x)=0. Найти функцию распределения F(x) и дисперсию D[X].

6. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения

7. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина Х ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25, 0,75).