
- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 3. Динамики относительного движения точки.
Предположим, что система координат Oxyz может быть принята за абсолютную (неподвижную или галилееву) систему и что в этой системе координат движение точки определяется дифференциальным уравнением
где
обозначает абсолютное ускорение точки.
Чтобы составить уравнение движения по
отношению к другой системе координат
,
движущейся заданным образом по отношению
к абсолютной системе, вспомним
кинематическую зависимость между
абсолютным ускорением
и относительным ускорением
:
(3.11)
где
— переносное ускорение, т. е. ускорение
того пункта системы
,
через который проходит в данный момент
рассматриваемая движущая точка,
-
кориолисово ускорение точки, обусловленное
вращательным движением относительной
системы
по
отношению к абсолютной системе Oxyz.
,
Подставляя значение ускорения из (3.11) в основное уравнение, получим:
Введем
обозначения:
,
и условимся в дальнейшем опускать индекс
«
»
у элементов относительного движения;
тогда последнее равенство примет вид
3.12)
Вектор
называется переносной силой инерции,
а
-
поворотной или кориолисовой силой
инерции. Анализ формулы (3.12) приводит к
следующему выводу: дифференциальные
уравнения динамики относительного
движения составляются так же, как и в
абсолютной системе, только к непосредственно
приложенным силам присоединяются
еще силы инерции — переносная и
кориолисова.
Если относительная система движется по отношению к абсолютной системе Oxyz поступательно, прямолинейно и равномерно, то она представляет галилееву систему, т. е. уравнение движения в ней не должно ничем отличаться от уравнения движения в абсолютной системе; действительно, в этом случае = =0, так что уравнение (3.12) совпадает с основным уравнением. В случае плоского движения относительной системы
при
равномерном вращении (ε
= 0) относительной
системы вокруг неподвижной или равномерно
и поступательно движущейся по отношению
к абсолютной системе оси (
)
получим:
,
( это центробежная сила). Кориолисова
сила не будет входить в формулы
относительного движения, если относительная
система движется поступательно (
= 0) или если в силу характера связей
точка вынуждена двигаться параллельно
оси вращения (
).
Из уравнения
относительного движения легко получить
уравнения относительного равновесия.
Для этого достаточно в формуле (3.12)
положить
=
= 0; тогда уравнение относительного
равновесия будет:
=0.
Все,
что сейчас говорилось по отношению к
точке, может быть перенесено на случай
любой системы точек. Прикладывая силы
инерции, мы можем рассмотрение движения
в относительной системе координат
свести к тем же уравнениям, что и в
абсолютной.
Пример 1. Найти условие относительного равновесия тяжелой точки на гладкой кривой данной формы, вращающейся равномерно вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Каков должен быть Рис 51
вид
кривой для того, чтобы в любом положении
на кривой точка была в относительном
равновесии (рис. 51) Решение
задачи сводится к применению метода
кинетостатики. Точка М находится в
относи тельном равновесии под влиянием
сил: веса Q,
центробежной силы
,
где
и реакции кривой
которая направлена по нормали
к кривой. Написав условие равновесия в
проекции на касательную, получим:
Q cos а — Se sin a = 0,
или после подстановки значения Se:
Отрезок
rtg
а =
АВ
представляет
поднормаль кривой r
= f(z),
на которой находится точка
М,
и условие равновесия дается равенством
.
Заменяя
перепишем условие относительного
равновесия в виде
.
(3.13)
Подставив
получим значение ординаты
,
в которой при данном
будет иметь место равновесие.
Для
решения второго вопроса проинтегрируем
уравнение (3.13). Найдем уравнение параболы:
при
вращении этой параболы с угловой
скоростью
тяжелый шарик будет в любой ее точке
находиться в состоянии безразличного
относительного равновесия. Как
известно, свободная поверхность жидкости
в сосуде, приведённом во вращение,
принимает форму параболоида.
Пример 2. Относительное равновесие тяжелой точки вблизи поверхности Земли. Найдем условия относительного равновесия груза на нити (отвеса), принимая во внимание вращение Земли. Притяжение F (рис.51а) груза Землей искажается действием центробежной силы Se, так что вес тела, равный натяжению нити N, не будет равен F; кроме того,направление отвеса DM не совпадает с направлением радиуса МО Земли в данном пункте. Обозначим геоцентрическую широту, т. е. угол радиуса Земли с плоскостью земного экватора через λ, а географическую широту, т. е. угол отвесной линии с той же плоскостью, через φ. Уравнение относительного равновесия записываются в виде
,
проектируя силы на кажущуюся горизонталь НН, получим:
З
аменим
здесь Se
и F
по формулам
,
где m
— масса груза,
R
— средний
радиус Земли,
-
ускорение, вызываемое притяжением
Земли; это ускорение не следует смешивать
с кажущимся ускорением g,
т. е. ускорением
,
искаженным центробежной силой. После
замены получим:
Замечая,
что угловая скорость Земли
1/сек,
радиус Земли R=6350000м
и ускорение
=9,82
,
получим:
так
что разность
очень мала и предыдущее уравнение можно
записать в виде
Рис
51а
максимальное значение этой разности при φ= 45° будет:
что соответствует приблизительно 6'.
Проектируя силы на направление отвеса DM, найдем:
N= mg = F cos (φ -λ) — Se cosφ
или,
вследствие малости угла (φ
-λ),
.
Отсюда легко найти относительную
разность между
и
g:
Максимальное значение это отношение
имеет на экваторе (φ
= 0):
Если бы Земля вращалась примерно в 17 раз быстрее, то тела на экваторе не имели бы веса.
Переносной
силой инерции, вызванной вращением
Земли, объясняется также и сжатие Земли.
Земля имеет форму геоида,
т.е. тела, нормаль к поверхности которого
совпадает в каждой точке с линией отвеса.
Поверхность геоида можно заменить
эллипсоидом вращения, сжатие которого
по данным измерений равно
.
Вопросы для самопроверки.
1. Напишите векторную формулу динамики относительного движения точки, что такое силы инерции.
2. Напишите векторную формулу силы сопротивления среды, прокомментируйте введенные обозначения.
3. Напишите в самом общем виде дифференциальные уравнения движения точки (в декартовой системе координат).
4. Напишите дифференциальные уравнения движения точки в осях натурального триэдра.
5
.
Сколько (и какие) необходимо задать
начальных условий для определения
движения точки (в декартовой системе
координат)?
6.
С какой абсолютной скоростью сойдет
колечко со стержня, если его длина равна
L , начальное положение
,
угловая скорость вращения стержня ω.
Стержень перпендикулярен оси вращения.
7. В чем разница между прямой и обратной (основной) задачами динамики?
8. Напишите уравнение относительного равновесия точки..
9. Составьте дифференциальное уравнения относительного движения колечка по стержню, вращающемуся с постоянной угловой скоростью ω, трение не учитывать.
10. Чему равно время движения точки на участке горизонтального
прямолинейного
движения, если начальная скорость
,
а конечная
?
Сила сопротивления среды равна
.
11.
Чему равен путь, пройденный точкой, на
участке горизонтального прямолинейного
движения, если начальная скорость
, а конечная
? Сила сопротивления среды равна
.