
- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 5. Поступательное движение твердого тела.
Поступательное
движение и вращение вокруг неподвижной
оси являются наиболее простыми случаями
движения твердого тела. Движение твердого
тела называется поступательным, если
любая прямая, проведенная в теле, во
время движения остается параллельной
сама себе. Будем определять положение
любой точки А
твердого тела вектор-радиусом
,
проведенным из начала координат (рис.
24). Если движение поступательное, то по
определению вектор
остается параллельным себе. Величина
вектора
не
изменяется, так как тело твердое. Итак,
является
постоянным вектором. Обозначим через
вектор-радиус
точки А,
а через
-
вектор-радиус точки В,
относительно некоторой неподвижной
точки О.
Равенство
*)
показывает, что траектория точки В
получается из траектории точки
А
путем параллельного перенесения ее на
постоянный по величине и направлению
вектор
.
Следовательно, траектории точек твердого
тела, движущегося поступательно,
представляют тождественные кривые,
получающиеся друг из друга путем
параллельного переноса (АВ||А’В’).
Дифференцируя обе части формулы (*) по
времени и замечая, что производная
постоянного вектора
равна нулю, получим:
или,
вспоминая определение вектора скорости:
т. е. скорости
всех точек твердого тела, движущегося
поступательно, в любой момент времени
друг другу равны как по величине, так
и по направлению. Дифференцируя обе
части (2) еще раз по времени, получаем:
т. е. ускорения
всех точек поступательно движущегося
твердого тела в любой момент времени
одинаковы. Из доказанного следует, что
поступательное движение твердого тела
вполне, определяется движением
какой-нибудь одной из его точек;
следовательно, для изучения поступательного
движения тела достаточно знания
кинематики точки.
Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Рассмотрим
движение твердого тела, при котором две
точки его остаются неподвижными; такое
движение представляет вращение тела
вокруг проходящей через неподвижные
точки прямой, называемой осью вращения.
Пусть ось вращения тела совпадает с
осью Oz.
Чтобы определить положение тела,
проведем через ось Oz
две полуплоскости: подвижную Q,
твердо связанную с вращающимся телом,
и неподвижную
Р (рис. 25).
Заданием двугранного угла φ(t)
между этими полуплоскостями положение
твердого тела вполне определяется.
Т
раекторией
любой точки М
твердого тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси, является окружность
(рис. 25), расположенная в плоскости,
проведенной через М
перпендикулярно к оси вращения; центр
этой окружности находится в пересечении
только что упомянутой плоскости и оси
вращения; радиус окружности равен
расстоянию h
точки М
от оси вращения. Дуга S(t),
отсчитанная от начального положения
Мо
точки до положения ее М
в момент
t,
соответствующая углу поворота
φ, равна
S(t)=hφ(t).
Направляя, как всегда, касательную к
траектории точки, в данном случае
окружности, в сторону возрастания дуги,
определим скорость в проекции ее на
касательную:
(28)
величина
h
вынесена за знак производной по времени
как расстояние точки до оси, не
изменяющееся при вращении твердого
тела. Величину ω
назовём угловой скоростью вращения
тела. Скорость любой точки тела,
вращающегося вокруг неподвижной
оси, равна произведению угловой скорости
тела на расстояние точки до оси
вращения. Направление вектора скорости
определится касательной к окружности,
по которой движется точка. Таким образом,
можно установить следующий закон
распределения скоростей в теле,
вращающемся вокруг неподвижной оси: в
данный момент времени скорости различных
точек тела пропорциональны их
расстояниям от оси вращения и направлены
в сторону вращения тела перпендикулярно
к плоскостям, проходящим через ось
вращения и рассматриваемые точки.
При вычислении линейных скоростей точек вращающегося тела по формуле (28) необходимо помнить, что угловая скорость должна быть выражена в рад/сек, (1/сек). Перейдем к рассмотрению ускорений точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Воспользуемся для этого формулами проекций ускорения на касательную и главную нормаль к траектории - и данном случае окружности радиуса h:
,
(2.9)
з
десь
обозначено
,
где через ε
обозначено угловое ускорение. Касательную
и нормальную составляющие ускорения
принято называть соответственно
вращательной и осестремительной
составляющими ускорения, или кратко
вращательным и осестремительным
ускорениями.
Осестремительная проекция ускорения, как видно из последней формулы, всегда положительна, т.е. осестремительное ускорение всегда направлено по радиусу окружности от точки к оси вращения. Что же касается вращательной составляющей, то она направлена по касательной в сторону положительного отсчета углов (и дуг), если ε > 0, и в противоположную сторону при ε < 0. На рис. 26 показано взаимное расположение вращательного и центростремительного ускорений и скорости при одном и том же направлении вращения тела. Полное ускорение точки вращающегося тела
,
угол
α,
образованный вектором ускорения
(рис. 26) с направлением нормали к
траектории:
.
Таким образом, приходим к следующему закону распределения ускорений в твердом теле, вращающемся вокруг неподвижной оси: в данный момент времени ускорения точек тела пропорциональны расстояниям точек от оси вращения и наклонены под одинаковыми углами к радиусам вращения.
Рассмотрим пример. Сравним скорости и ускорения на ободе маховика паровой машины, имеющего диаметр D=l,5м и вращающегося с угловой скоростью N =240 об/мин, и турбинного диска, имеющего диаметр 10 см и совершающего 18 000 об/мин.
В
первом случае
,
h=D/2=0.75
м
и,
следовательно, V=0,75•8π=18,85м/сек
.
Окружная скорость и центростремительное
ускорение точки обода турбинного
диска будут:
,
Ускорение
частицы на ободе диска в 126000 раз
превосходит ускорение силы тяжести
g=9,81
.