Побудова моделі

2. Визначити шукані величини, тобто змінні поставленої задачі.

У задачі шуканими невідомими величинами є кількість полиць кожного виду, які будуть вироблені в поточному місяці. Таким чином, xА – кількість полиць А (шт./міс.); xB1 – кількість полиць В1 (шт./міс.); xB2 – кількість полиць В2 (шт./міс.).

3. Визначити мету розв’язання задачі, тобто побудувати цільову функцію.

В даному випадку мета – це максимізація прибутку, одержаного від продажу полиць всіх видів протягом місяця. Оскільки в цій задачі прибуток може бути визначений як різниця між ціною (Ц1, Ц2, Ц3) і собівартістю (С1, С2, С3), то ЦФ має вигляд

L (X )=(295 -205 )xA + (182 -142 )xB1+(220-160) xB2→max

 =

(1)

4. Сформувати обмеження по фонду часу (з використанням трудомісткості робіт)

Ліва частина обмежень по фонду часу є часом, що витрачається на виробництво полиць протягом місяця в кількості xА, xB1, xB2 штук. Права частина обмеження — це фонд робочого часу виконавця роботи (робітника або автомата) за зміну. Нерівність (2) описує обмеження по фонду часу на виконання столярних робіт. Коефіцієнт 4 ч/шт. (Тр1) – це час, що витрачається на столярні роботи при виробництві однієї полиці типу А (трудомісткість); 40 чол. (Р1) – це кількість столярів, що беруть участь у виробництві; 8 ч/(чол.зм.) – кількість годин роботи однієї людини протягом зміни; 1 зм./д. – кількість змін в одному робочому дні; 22 д./міс . – кількість робочих днів в місяці (табл. 2.1):

4xA ≤ 408122	≤	(2)
 ≤ чол

Примітка. Важливим моментом перевірки правильності складання обмежень є перевірка збігу одиниць вимірювання лівої і правої частин обмеження. У обмеженні (2) ліва і права частини вимірюються в годинах, витрачених на випуск продукції протягом місяця.

Аналогічно записується обмеження (3) по фонду часу на пакувальні роботи, в якому 14 чол. (Р2) – це кількість пакувальників:

xA + xB1 + xB2 ≤ 148122	≤	(3)
 ≤ чол

5. Сформувати обмеження по фонду часу (з використанням продуктивності робіт)

Нерівність (4) описує обмеження по фонду часу на покриття лаком полиць типа А. Відмінність обмежень, що враховують дані про продуктивності робіт, від обмежень, що враховують дані про трудомісткість робіт, полягає у тому, що продуктивність необхідно перетворити в трудомісткість. Трудомісткість є величиною, зворотною до продуктивності. Коефіцієнт () при xA в (4) – це кількість годин, що відводиться на покриття лаком однієї полиці типа А. Під час запису правої частини обмеження враховуємо, що автомат, який виконує покриття лаком, працює не повну зміну (8 ч), а протягом змінного фонду часів 7 ч (ФВ1). Це пов’язано з необхідністю підготовки автомата до роботи і обслуговуванням його після закінчення роботи.

xA ≤ 7122	≤	(4)
 ≤

Нерівність (5) описує обмеження по фонду часу на різання скла для полиць типу А і В2:

xA + xB2 ≤ 7,5122	≤	(5)
 ≤

Нерівність (6) описує обмеження по фонду часу на виробництво комплектуючих полиць типа В1 і В2:

xB1 + xB2 ≤ 7,4122	≤	(6)
 ≤

6. Сформувати обмеження по запасу матеріалів, що витрачаються у виробництві (по запасу використовуваних для виробництва полиць деталей).

Нерівність (7) описує обмеження по запасу листів ДСП, що поставляються на комбінат щомісячно. При цьому слід врахувати, що з листу ДСП треба викроювати комплекти (верхню і нижню сторони полиць, 2 бічні сторони) для виробництва полиць. Тому при завданні обмеження має сенс орієнтуватися не на кількість листів ДСП, а на кількість комплектів для полиць [права частина (7)], які можна отримати з наявного запасу ДСП. Але оскільки листи ДСП можна розкроювати різними способами і отримувати при цьому різну кількість деталей і комплектів, то позначимо місячний запас комплектів в правій частині (7) як Yкомпл і розглянемо спосіб його чисельного визначення пізніше. У лівій частині обмеження (7) задається кількість комплектів (по одинці на полицю), необхідних на виробництво полиць протягом місяця в обсязі xB1 , xB2:

1xB1 + 1xB2 ≤ Yкомпл	≤	(7)
 ≤

Аналогічно обмеженню по ДСП нерівність (8) – це обмеження по запасу задніх стінок з ДВП для полиць В1 і В2, а нерівність (9) – обмеження по запасу стекол для полиць А і В2. На відміну від ДСП листи ДВП і листи скла крояться стандартним способом, і з кожного листу ДВП виходить 14 (К1) задніх стінок полиць, а з кожного листу скла виходить 10 (К2) стекол. Щомісячний запас листів ДВП і скла складає відповідно 230 (Z2) і 260 (Z3). При складанні лівих частин обмежень (8) і (9) слід врахувати, що на кожну полицю В1 і В2 припадає по одній задній стінці, а на кожну полицю А і В2 – по 2 стекла:

1xB1 + 1xB2 ≤ 23014	≤	(8)
 ≤

2xA + 2xB2 ≤ 26010	≤	(9)
 ≤

7. Задати обмеження по місткості допоміжних приміщень і ринку

Нерівність (10) є обмеженням по кількості полиць А, які може вміщати сушильня. У правій частині (10) представлена кількість полиць, які можуть бути просушені протягом місяця (у день може бути просушено 50 (V1) полиць):

xA ≤ 5022	≤	(10)
≤

Нерівність (11) описує обмеження по кількості полиць всіх видів, які може вміщати склад готової продукції. При цьому права частина (11) враховує, що загальна місткість складу зменшена на 100 (Ост) полиць, які залишилися невивезеними з минулого місяця. Крім того, протягом місяця кожен день звільнятиметься по 40 (N) місць для полиць:

xA + xB1 + xB2 ≤ 350 – 100 + 4022	≤	(11)
≤ – + 

Нерівність (12) описує обмеження по приблизній ємності ринку, рівної 5300 (V3) полицям всіх видів:

xA + xB1 + xB2 ≤ 5300

≤

(12)

8. Сформувати обмеження по гарантованому замовленню

Нерівність (13) показує, що необхідно виробити як мінімум 50 (З) замовлених полиць В2, а можливо, і більше, але вже для вільного продажу:

xB2  50



(13)

Нерівність (14) показує, що частка полиць А і В2 в загальному об’ємі полиць, вироблюваних для вільного продажу, повинна складати не менше 60% (Д). До такого висновку приводять результати маркетингових досліджень. Оскільки із всіх полиць В2 у вільний продаж поступить лише (xB2 – 50), то це враховується при складанні обмеження (14), яке після перетворень алгебри приймає вигляд (15).

xA + (xB2 – 50)  0,6[xA + xB1 + (xB2 – 50)]



(14)

0,4xA – 0,6xB1 + 0,4xB2  20

(15)

9. Визначити кількості комплектів для полиць В1 і В2

Розглянемо детально питання визначення максимально можливої кількості комплектів для полиць В1 і В2, яке можна виробити з щомісячного запасу ДСП. Залежно від розмірів листів ДСП (2000×3000 мм) і габаритів полиць (1100×250×300 мм) деталі полиць В1 і В2 можна викроїти різними способами. Розглянемо три можливі варіанти такого розкрою, представлені на рис. 2 (затемнені ділянки – це невикористана площа ДСП).

Згідно 1-му варіанту з одного листу ДСП для полиць В1 і В2 можна викроїти 19 деталей верхньої або нижньої стінок, а також 9 деталей бокових стінок. По 2-му варіанту розкрою отримаємо 12 деталей верхньої або нижньої стінок і 36 деталей бокових стінок. По 3-му варіанту розкрою отримаємо 16 деталей верхньої або нижньої стінок і 18 деталей бокових стінок. Позначимо кількість листів ДСП, розкроєних протягом місяця: по 1-му варіанту через y1 (лист./міс.); по 2-му варіанту – y2 (лист./міс.); по 3-му варіанту – y3 (лист./міс.). При виробництві полиць нам вигідно прагнути до такого розкрою листів ДСП, при якому з отриманих деталей можна укомплектувати максимальну кількість полиць. Кількість комплектів, отриманих з розкроєних деталей, ми раніше позначили через Yкомпл . Таким чином, наша ціль описується цільовою функцією

L(Y) = Yкомпл → max

компл./міс.

19 верхніх і нижніх стінок,

9 бокових стінок

12 верхніх і нижніх стінок,

36 бокових стінок

16 верхніх і нижніх стінок,

18 бокових стінок

Рис. 2. Можливі варіанти розкрою листів ДСП

Кількість всіх розкроєних листів ДСП не повинна перевищувати 400 (Z1), тобто щомісячний запас їх на складі:

y1 + y2 + y3 ≤ 400

лист./міс.

При цьому, оскільки в кожен комплект входить одна верхня і одна нижня стінки, кількість нижніх і верхніх стінок, отримуваних при розкрої всіх листів ДСП [ліва частина (16)], повинна бути не менше ніж 2Yкомпл:

19y1 + 12y2 + 16y3  2Yкомпл		(16)
 

Аналогічне значення має обмеження (17), яке задає нижню межу кількості бокових стінок полиць:

9y1 + 36y2 + 18y3  2Yкомпл



(17)

Після перетворення описаних нерівностей отримаємо модель задачі (18), що дозволяє розкроїти максимальну кількість комплектів:

L(Y) = Y_компл → max;

(18)

Таким чином, при розв’язанні задачі (18) симплекс–методом (наприклад, в MS Excel) змінна Yкомпл безпосередньо визначає значення ЦФ, а змінні y1, y2 і y3 впливають на зміну значення ЦФ непрямим чином, через обмеження.

10. Розв’язати задачу (18) симплекс–методом в MS Excel та визначити максимально можливу кількість комплектів для полиць В1 і В2, яку можна виробити з щомісячного запасу ДСП.

Можливий варіант екранної форми для введення початкових даних, умов задачі та залежностей з математичної моделі наведений на рис. 2.

Розв’язавши задачу (18), отримаємо значення правої частини обмеження (7) Y=3387 комплектів.

Рис. 2.Екранна форма розв’язку задачі про визначення максимально можливої кількості комплектів для полиць В1 і В2, яку можна виробити з щомісячного запасу ДСП.

11. Засобами MS Excel розв’язати початкову задачу щодо складання плану виробництва полиць на поточний місяць, модель якої має вигляд:

L(X) = 90xA+40xB1+60xB2→max;

(19)

Можливий варіант екранної форми для складання плану виробництва полиць на поточний місяць, введення початкових даних, умов задачі та залежностей з математичної моделі наведений на рис. 3.

Розв’язавши задачу (19), отримаємо

x_A = 1100 шт./міс, x_B1 =0 шт./міс, x_B2 =120 шт./міс,

L(X)=106 200 грн./міс, (20)

Тобто в поточному місяці необхідно виробити 1100 полиць А і 120 полиць В2, а виробництво полиць В1 недоцільне. Після реалізації всіх вироблених полиць комбінат отримає прибуток у розмірі 106 200 гривень.

Рис. 3. Екранна форма для розв’язку задачі щодо складання плану виробництва полиць на поточний місяць