Глава 3 непрерывность функции
3.1. Непрерывность функции в точке. Разрывная функция. Классификация точек разрыва.
Определение.
Функция
называется непрерывной в точке
,
если:
1)
определена в точке
и в некоторой её окрестности.
2) Существует
предел
;
3) Этот предел равен значению функции в точке :
(3.1)
Пример
3.1. Функция
непрерывна в точке
,
поскольку
и
(т.е. выполняются условия
непрерывности).
Пример
3.2.
Эта функция не является непрерывной в
точке
,
так как не выполняется третье условие
в определении непрерывности.
Определение Функция называется непрерывной в точке справа (слева) если:
1) определена в точке и в некоторой её правой (левой) полуокрестности;
2
) существует
предел справа
(слева
);
3) 
(3.2)
Пример 3.3.
Функция в точке
не является непрерывной, поскольку
нарушено второе условие, однако в этой
точке она непрерывна справа.
Определение Пусть
определена в некоторой окрестности
точки
,
кроме, возможно, самой этой точки. Точка
называется точкой разрыва функции
,
если в ней нарушается хотя бы одно из
условий непрерывности функции, т.е. либо
значение
неопределено, либо не существует
,
либо этот предел не равен
.
Определение Пусть точка разрыва функции . Если существуют конечные пределы справа и слева:
,
,
то
называется
точкой разрыва первого рода.
Заметим, что
при этом значение
либо не определено, либо не все три числа
равны между собой.
Если
точка разрыва
первого рода и при этом
,
то
называется
точкой устранимого разрыва функции
.
Подчеркнём, что для непрерывности
в точке
необходимо
и достаточно, чтобы:
(3.4)
Пример 3.4.
Функция
имеет в точке
разрыв первого рода, поскольку
,
т.е.
,
.
Пример 3.5.
Функция
в точке
имеет устранимый разрыв, поскольку
значение
неопределено и при этом
.
Если доопределить данную функцию в
точке
,
приняв
,
получим непрерывную функцию.
Определение. Точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода.
К ним относятся точки, в которых левый или правый пределы не существуют и, в частности, какой-либо из них равен (в последнем случае точка называется точкой бесконечного разрыва).
Пример 3.6.
Функция
в точке
имеет разрыв второго рода (бесконечный
разрыв).
П
ример
3.7. Функция
в точке
не имеет ни правого, ни левого предела,
поскольку при
или
она колеблется между значениями 1 и –1
(рис.3.2.).
Следовательно, данная функция в точке имеет разрыв второго рода.
3.2. Теоремы о непрерывных функциях
Теорема.
Пусть функции
и
непрерывны в точке
,
тогда их сумма
и произведение
непрерывны в точке
.
Если, кроме того,
,
то их частное
также непрерывно в этой точке.
Теорема.
Пусть функция
непрерывна в точке
,
а
непрерывна в точке
,
тогда сложная функция
непрерывна в точке
.
Эти две теоремы приводят к важному следствию: всякая элементарная функция непрерывна в своей области определения.
Такое утверждение даёт возможность при вычислении предела элементарной функции при в случае, когда эта функция определена в точке , воспользоваться формулой
(3.5)
Пример 3.8.
,
поскольку функция
непрерывна.
Пример 3.9.
Вычислить
(здесь имеет место неопределённость
типа
).
Решение.
и поскольку функция
непрерывна при z > 0
и
при
,
то
.
Вывод: при
.