МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ»

Одобрено

методической комиссией

факультета АиУ

КАДЫМОВ В.А., ПШЕНИЧНОВ С.Г.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ С ПРИМЕРАМИ И ВАРИАНТАМИ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ

Методические указания и варианты расчетно-графических работ по высшей математике для студентов 1 курса

Москва 2005

Кафедра «Высшая математика» МГТУ «МАМИ»

Кадымов В.А., Пшеничнов С.Г. «Системы линейных уравнений, векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы теории с примерами и вариантами расчетно-графических работ». Методические указания и варианты расчетно-графических работ по высшей математике для студентов 1 курса.

Методические указания соответствуют утвержденной программе курса высшей математики и рекомендованы кафедрой «Высшая математика» в качестве руководства для изучения материала студентами первого курса, преимущественно вечернего отделения.

В первых трех главах методических указаний содержатся краткие сведения по теории систем линейных алгебраических уравнений, а также векторной алгебре и аналитической геометрии. В каждом из разделов теоретические положения сопровождаются соответствующими примерами с подробными решениями. В четвертой главе отдельно собраны некоторые характерные задачи, относящиеся к материалу всех предыдущих глав, даны образцы решений и представлены варианты заданий для самостоятельных занятий (расчетно-графических работ). Это поможет студентам лучше усвоить материал и успешно подготовиться к экзамену за первый семестр.

 Московский государственный технический университет

« МАМИ», 2005

Содержание

Глава 1 4

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4

1.1 Классификация систем линейных уравнений. Метод Гаусса. 4

1.2 Основы теории определителей. Правило Крамера. 8

1.3 Действия над матрицами. Решение линейной системы в матричной форме. Матричные уравнения. 17

Глава 2 24

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 24

2.1 Основные понятия векторной алгебры. Линейные операции над векторами. 24

2.2 Скалярное произведение векторов 32

2.3 Векторное произведение 34

2.4 Смешанное произведение векторов 36

Глава 3 39

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 39

3.1 Понятие геометрического места точек 39

3.2 Прямая на плоскости 39

3.3 Плоскость в пространстве 45

3.4 Прямая в пространстве 50

3.5 Прямая и плоскость в пространстве 52

3.6 Кривые второго порядка 55

3.7 Поверхности второго порядка 58

Глава 4 61

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 61

ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ 61

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 78

ЛИТЕРАТУРА 91

Глава 1 системы линейных уравнений

1.1 Классификация систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

В данном разделе будем исследовать системы алгебраических уравнений первой степени с несколькими неизвестными. Такие системы называют системами линейных уравнений или, кратко, линейными системами. При этом количество уравнений и количество неизвестных в системе могут не совпадать.

Пример 1.1 = 1  система двух уравнений с двумя неизвестными x₁ и x₂.

Пример 1.2  система двух уравнений с тремя неизвестными х₁, х₂, х₃.

Пример 1.3  система трех уравнений с двумя неизвестными х₁ и х₂.

В общем случае линейная система, состоящая из m уравнений с n неизвестными х₁, х₂, …, х_n (система размера m  n) имеет вид

(1.1)

где значения a_ij и b_i (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) заданы, причем здесь и далее они предполагаются действительными. Величины a_ij называются коэффициентами системы (1.1), а величина b_i  свободным членом i-го уравнения. Заметим, что в обозначении a_ij первый индекс i соответствует номеру уравнения, а второй  j  номеру неизвестного x_j. Так, в примере 1.1 представлена система размера 22: m = n = 2, a₁₁ = 1, a₁₂ = 2, a₂₁ = 3, , a₂₂ = 7, b₁ = 1, b₂ = 2.

Определение. Решением системы (1.1) называется упорядоченное множество n чисел {k₁, k₂, …, k_n}, таких, что каждое из уравнений этой системы обращается в тождество при замене в нем х₁ на k₁, х₂ на k₂, …, х_n на k_n.

Так, заметим, что множество {3; 1}, т.е. х₁ = 3, х₂ = 1 является решением системы примера 1.1.

Определение. Система (1.1) называется несовместной, если она не имеет ни одного решения. Система, имеющая решение, называется совместной. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если у нее более одного решения (далее мы увидим, что в этом случае решений будет бесконечно много).

Пример 1.4 Система несовместна, т.к. ее уравнения противоречивы.

Пример 1.5 Система совместна, определена. Действительно, первое уравнение равносильно соотношению x₁ = x₂. Подставив его во второе уравнение, получим x₂ + x₂ = 2, в результате чего найдем единственное решение: x₁ = 1; x₂ = 1.

Пример 1.6 Система совместна, неопределенна.

В самом деле, поскольку оба уравнения есть одно и то же, то систему можно заменить одним уравнением x₁ + 2x₂ = 1, которое перепишем в виде x₁ = 1  2x₂. Взяв теперь любое число  в качестве x₂, заметим, что x₁ = 1  2; x₂ =   есть решение нашего уравнения (а значит и всей исходной системы). Поскольку  произвольно, то и решений системы бесконечно много. Так, например, при  = 0 получим x₁ = 1; x₂ = 0; при  = 1/2 получим x₁ = 0; x₂ = 1/2 и т.д.

Определение. Система (1.1) называется однородной, если все b_i = 0 (i = 1, 2, …, m).

Однородная система всегда совместна, т.к. заведомо имеет решение х₁ = 0, х₂ = 0, …, х_n = 0, которое называется тривиальным.

Определение. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если они или обе несовместны, или же обе совместны и при этом любое решение первой системы является решением второй, а также любое решение второй системы является решением первой.

Заметим без доказательства, что если к линейной системе применить следующие преобразования, называемые элементарными:

• поменять местами уравнения;

• умножить обе части какого-либо уравнения на любое отличное от нуля число;

• к обеим частям какого-либо уравнения прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на любое число, то получится система, эквивалентная исходной.

Основная задача теории систем линейных уравнений состоит в том, чтобы выяснить, совместна данная система или нет и, если совместна, то найти все ее решения.

Универсальным методом решения линейных систем является метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Поясним его идею на нескольких примерах.

Пример 1.7 Решить систему

Заметим, что в первом уравнении коэффициент при x₁ отличен от нуля (a₁₁ = 2). Преобразуем данную систему к эквивалентной, оставив первое уравнение без изменения, а все остальные заменив новыми, не содержащими x₁. Эти новые уравнения получим следующим образом. Сначала умножим обе части первого уравнения на такое число (здесь оно равно двум), чтобы получилось уравнение с коэффициентом при x₁, равным коэффициенту при x₁ во втором уравнении, т.е. четырем, в результате чего получим

4x₁  4x₂  6x₃ = 2.

Вычитая обе части полученного уравнения из соответствующих частей второго уравнения исходной системы (или, что то же самое, складывая второе уравнение с первым, умноженным на 2), будем иметь

4x₁  3x₂  2x₃  (4x₁  4x₂  6x₃) = 0  2, т.е. x₂ + 4x₃ = 2.

Это уравнение и возьмем в качестве второго в новой системе. Третье уравнение новой системы строим аналогично. Умножив обе части первого уравнения на 3/2, получим уравнение

с таким же коэффициентом при х₁, что и в третьем уравнении исходной системы. Вычитая обе его части их соответствующих частей третьего уравнения исходной системы, запишем:

, т.е. .

Это уравнение и возьмем в качестве третьего в новой системе.

Итак, рассмотрим новую, эквивалентную исходной, систему:

Ее опять преобразуем, оставив в ней первое и второе уравнения без изменения, а третье заменив новым, содержащим только переменную x₃. Для этого, умножив второе уравнение рассматриваемой системы на 9, получим уравнение

9x₂ + 36x₃ = 18

с тем же коэффициентом при х₂, что и в третьем уравнении. Вычитая обе его части из соответствующих частей третьего уравнения, будем иметь

, т.е. .

В результате исходная система преобразована к эквивалентной системе, так называемого, треугольного вида

решение которой легко построить. Из третьего уравнения найдем неизвестное x₃ = 1; подставляя его во второе уравнение, найдем x₂ = 2  4x₃ = 2 и подставляя затем оба найденных неизвестных в первое уравнение, получим

x₁ = (1 + 2x₂ + 3x₁) = 1.

Указанный алгоритм подтверждает единственность решения построенной системы треугольного вида и, следовательно, единственность решения x₁ = 1; x₂ = 2; x₃ = 1 исходной системы, которая, таким образом, является совместной, определенной.

Пример 1.8 Решить систему .

Применим метод Гаусса, исключая сначала x₁ из второго и третьего уравнений с помощью первого:

или

Исключим x₂ из третьего уравнения, вычитая из него второе:

или

В полученной системе, эквивалентной исходной, последнее равенство невыполнимо, что означает ее несовместность, а значит и несовместность исходной системы.

Пример 1.9 Решим систему

Исключим x₁ из второго и третьего уравнений:

или

Исключим x₂ из третьего уравнения, вычитая из него второе:

Отбросив последнее равенство, получим систему

трапецеидального вида, отличающуюся от системы треугольного вида тем, что количество ее уравнений меньше количества неизвестных. Покажем, что у нее бесчисленное множество решений.

Перенеся члены с x₃ в правые части обоих уравнений, получим систему

треугольного вида относительно x₁; x₂. Эти неизвестные называются базисными, а неизвестное x₃  свободным. Придавая x₃ произвольные значения x₃ = , можно последовательно выразить x₂ и x₁ через то же значение :

;

.

Итак, решения трапецеидальной системы (а значит и исходной) имеют вид

; ; ,

где   любое число, т.е. этих решений бесчисленное множество. Таким образом, исходная система совместна, неопределенна.

Система с произвольным числом уравнений и неизвестных исследуется методом Гаусса совершенно аналогично. При этом в процессе последовательного исключения неизвестных могут возникнуть следующие ситуации:

1) На некотором этапе получается уравнение, в котором все коэффициенты при неизвестных в левой части равны нулю, а свободный член отличен от нуля; тогда система несовместна.

2) Такого уравнения не получается и система приводится к треугольному виду (при этом число уравнений оказывается равным числу неизвестных); тогда система совместна, определенна.

3) Указанного выше уравнения не получается и система приводится к трапецеидальному виду (при этом число уравнений оказывается меньше числа неизвестных); тогда система совместна, неопределенна, причем обладает бесчисленным множеством решений.

Метод Гаусса применим к любым системам линейных уравнений, коэффициенты и свободные члены которых заданы своими числовыми значениями. Однако, если требуется выразить решение системы через ее коэффициенты и правые части в виде явной формулы, то метод Гаусса неудобен и применяются другие методы. Чтобы их освоить, необходимо познакомиться с элементами теории определителей и теории матриц.