МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«МАМИ»

Кафедра «Высшая математика»

В. А. КАДЫМОВ, С. Г. ПШЕНИЧНОВ

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ С ПРИМЕРАМИ И ВАРИАНТАМИ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ

Методические указания и варианты расчетно-графических работ по высшей математике для студентов 1-го курса

Москва 2005

Составители: Кадымов В.А., Пшеничнов С.Г. Кафедра «Высшая математика» МГТУ «МАМИ». Элементы математического анализа. Теория пределов и дифференциальное исчисление с примерами и вариантами расчетно-графических работ. Методические указания и варианты расчетно-графических работ по высшей математике для студентов 1-го курса.

МАМИ 2005

Методические указания соответствуют утвержденной программе курса высшей математики и рекомендованы кафедрой «Высшая математика» в качестве руководства для изучения материала студентами 1-го курса всех специальностей, преимущественно, вечернего отделения.

В первых пяти главах методических указаний в кратком виде содержатся необходимые сведения из теории функций по разделам «теория пределов» и «дифференциальное исчисление», включая знакомство с основными элементарными функциями, вычисление пределов, исследование непрерывности, нахождение производных, полное исследование функций и построение графиков. В каждом из разделов теоретические положения сопровождаются соответствующими примерами с подробными решениями. В шестой главе отдельно собраны типовые задачи, относящиеся к материалу предыдущих глав и вошедшие в варианты расчетно-графических работ; даны образцы решений. В седьмой главе представлены варианты заданий для самостоятельных занятий (расчетно-графических работ). Это поможет студентам лучше усвоить материал и успешно подготовиться к экзамену за первый семестр.

 Московский государственный технический университет «МАМИ», 2005.

Содержание

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 4

1.1. Понятие функции, способы её задания. Последовательность 4

1.2. Основные элементарные функции 8

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 13

2.1. Предел функции, односторонний предел. Предел последовательности. 13

2.2. Понятия бесконечно малой и бесконечно большой функций. Ограниченная функция. 16

2.3. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых. 21

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 27

3.1. Непрерывность функции в точке. Разрывная функция. Классификация точек разрыва. 27

3.2. Теоремы о непрерывных функциях 30

3.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке. 31

ПРОИЗВОДНАЯ 32

4.1. Понятие производной, её физический и геометрический смысл. Дифференциал функции. 32

4.2. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производная обратной функции. 36

4.3. Производная функции, заданной параметрически. Производная неявной функции. Производные высших порядков. 38

4.4. Теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя. 40

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ. 43

5.1. Возрастание и убывание функций. 43

5.2. Экстремумы функций. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. 43

5.3. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. 46

5.4. Асимптоты графика функции. Общее исследование функций и построение графиков. 48

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ЗАДАЧИ 51

6.1. Построение графиков функций без применения методов дифференциального исчисления 51

6.2. Задачи на вычисление предела последовательности 58

6.3. Задачи на вычисление предела функции 62

6.4. Исследование функции на непрерывность 66

6.5. Найти производные функций 69

6.6. Задачи на вычисление пределов функций с использованием правила Лопиталя 71

6.7. Исследование поведения функций с помощью производных 73

ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ 80

7.1. Построить графики функций без применения методов дифференциального исчисления 80

7.2. Вычислить предел последовательности 85

7.3. Вычислить предел функции 94

7.4. Исследовать функцию на непрерывность 101

7.5. Найти производные функций 107

7.6. Вычислить предел функции с использованием правила Лопиталя 110

7.7. Исследовать поведение функции с помощью методов дифференциального исчисления 115

ЛИТЕРАТУРА 121

Глава 1 понятие функции

1.1. Понятие функции, способы её задания. Последовательность

Определение. Переменной называется величина, принимающая различные числовые значения.

Множество всех числовых значений переменной (или область её изменения) может быть самым разнообразным, например:

интервал - множество чисел , таких, что ;

отрезок (или сегмент) - множество таких , что ;

полуинтервал или полусегмент - соответствует ,

- соответствует ;

бесконечные интервалы и полуинтервалы:

- соответствует ; - соответствует ;

- соответствует ; - соответствует ;

- вся числовая ось или множество всех действительных чисел .

В дальнейшем все переменные будем предполагать действительными и считать, что термины «действительное число » и «точка на числовой прямой» означают одно и то же. Кроме того, будем иногда пользоваться обозначениями:

(любой), (существует), (принадлежит), (такой, что).

Определение. Окрестностью точки называется любой интервал , содержащий , т.е. ;

- окрестностью точки называется интервал , при этом является центром своей - окрестности, а величина - её радиусом.

Интервалы и называются правой и левой полуокрестностью точки .

Определение. Пусть задано множество числовых значений переменной и задан закон , согласно которому каждому значению из множества ставится в соответствии одно и только одно значение* другой переменной .

Тогда говорят, что задана функция или , при этом называется независимой переменной или аргументом, а - зависимой переменной или функцией аргумента . Множество называется областью определения функции .

* - В настоящем курсе рассматриваются только однозначные функции.

Множество всех числовых значений переменной называется множеством значений функции .

Определение. Графиком функции называется множество точек плоскости , абсциссы которых являются значениями аргумента , а ординаты - соответствующими значениями функции .