6.6. Задачи на вычисление пределов функций с использованием правила Лопиталя
Кроме примеров данного раздела см. также примеры 4.9 – 4.13.
Пример 6.35.
(неопределенность вида
).
Решение.
.
Пример 6.36.
(неопределенность вида
).
Решение.
Пример 6.37.
(неопределенность вида
).
Решение.
.
Пример 6.38.
(неопределенность вида
).
Решение.
Поскольку
,
то
.
Последнее равенство справедливо в силу непрерывности экспоненциальной функции.
Рассмотрим:
Поскольку при
,
то
,
в результате чего искомый предел равен
.
Пример 6.39.
(неопределенность вида
).,
Решение.
Так как
,
то
.
Согласно правилу Лопиталя
,
поэтому искомый предел равен
.
6.7. Исследование поведения функций с помощью производных
Кроме примеров данного раздела см. также примеры 5.1 – 5.12.
Пример 6.40.
Найти области убывания и возрастания
функции
,
а также исследовать ее на экстремум.
Решение. Данная функция определена (и является непрерывной) на всей числовой оси, за исключением точки , в которой она имеет разрыв 2-го рода. Найдем производную
.
К
ритической
точкой, в которой
,
является
.
Для исследования знаков
применим метод интервалов. На рис. 6.12
указан знак производной
на каждом из интервалов ее знакопостоянства.
Там же указан характер монотонности
заданной функции
,
соответствующий знаку
.
Таким образом,
при
монотонно возрастает; при
убывает; при
возрастает. В точке
имеет экстремум (минимум), причем
.
Подчеркнем, что в точке не имеет экстремума, а имеет разрыв 2-го рода.
Пример 6.41.
Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
на отрезке
.
Решение.
Заметим, что заданная функция
непрерывна на всей числовой оси, а,
значит, и на отрезке
.
Как известно, такая функция достигает
своего наибольшего и наименьшего
значений на отрезке
либо в критических точках, либо на концах
отрезка. Найдем критические точки из
условия
.
,
откуда получим
.
Корнями этого уравнения являются
,
- критические точки
.
Вычислим и сравним между собой значения
,
,
,
:
;
;
;
.
Таким образом,
на отрезке
достигает наибольшего значения, равного
,
в двух точках
и
и достигает наименьшего значения,
равного
,
также в двух точках
и
.
Пример 6.42.
Найти интервалы выпуклости и точки
перегиба графика функции
.
Решение.
Заданная функция определена и непрерывна
на всей числовой оси. Найдем ее вторую
производную
:
,
К
ритическими
точками 2-го рода, в которых
,
являются
,
.
Знаки
легко исследовать методом интервала.
На рис. 6.13 указан знак
на каждом из интервалов ее знакопостоянства.
Там же указано направление выпуклости
графика
,
соответствующее этому знаку.
При
график
выпуклый вниз; при
- выпуклый вверх; при
- выпуклый вниз. Имеются две точки
перегиба графика:
и
,
где
,
,
а ординаты
,
находятся из соотношений:
;
,
т.е.
;
.
Заметим, что график
симметричен относительно оси
,
поскольку эта функция четная, т.е.
.
Пример 6.43.
Найти асимптоты графика функции
.
Решение.
Вертикальной асимптотой является прямая
,
поскольку при
.
Правую наклонную асимптоту
найдем из соотношений:
,
,
таким образом,
- правая наклонная асимптота.
Левая наклонная асимптота
находится аналогично:
,
,
т.е. правая наклонная асимптота является
одновременно и левой наклонной асимптотой.
Пример 6.44.
Провести полное исследование функции
и построить ее график.
Решение.
Областью определения функции является множество
.
Функция является четной, т.е.
и ее график симметричен относительно
оси
.
Функция терпит разрыв 2-го рода в точках
.Вертикальными асимптотами графика
являются прямые
и
.
Правая наклонная асимптота
определяется из условий:
,
т.е. правой наклонной асимптотой
является горизонтальная прямая
,
которая в силу симметрии графика,
является также и левой наклонной
асимптотой.
Для исследования монотонности и экстремумов найдем :
.
Знаки
и характер монотонности
на соответствующих интервалах указаны
на рис. 6.14.
Функция имеет экстремум (максимум) в точке , причем
.
Для исследования направления выпуклости графика
рассмотрим
:
.
Знаки и направление выпуклости графика на соответствующих интервалах указаны на рис. 6.15.
З
аметим,
что точки перегиба графика отсутствуют,
поскольку при
функция
не определена (имеет разрыв 2-го рода).
График
изображен на рис. 6.16.
Пример 6.45.
Провести полное исследование функции
и построить ее график.
Решение.
Областью определения функции является множество
;
функция является нечетной (
)
и терпит разрыв 2-го рода в точке
.Вертикальной асимптотой графика является ось
.
Правая наклонная асимптота
определяется из условий:
,
,
т.е. правой наклонной асимптотой
является прямая
.
Легко видеть, что эта прямая является
также и левой асимптотой (при
).
Для исследования монотонности и экстремумов найдем . Проделав соответствующие выкладки, получим:
при любом
, т.е. при
монотонно
возрастает и при
также монотонно возрастает. Ясно, что
экстремумы
отсутствуют.
Для определения направления выпуклости графика рассмотрим :
.
П
ри
выполняется неравенство
,
т.е. график
выпуклый вверх; при
выполняется
,
т.е. график
выпуклый вниз, при этом точки перегиба
отсутствуют, поскольку при
функция
не определена (имеет место разрыв 2-го
рода).
Точки пересечения графика с осью
найдем из соотношения
,
т.е.
,
откуда
.
График
изображен на рис. 6.17.