Глава 6 рекомендуемые задачи

6.1. Построение графиков функций без применения методов дифференциального исчисления

Рассмотрим случаи, когда построение графика функции легко осуществить без ее полного исследования методами дифференциального исчисления. При этом будем использовать графики основных элементарных функций, а также применять некоторые известные правила. Пусть кривая является графиком функции . Тогда графики нижеперечисленных функций получаются из при помощи следующих операций ( - константа):

1. - параллельный перенос вдоль оси OY на величину .

2. - параллельный перенос вдоль оси OX на величину .

3. - зеркальное отображение относительно оси OX.

4. - зеркальное отображение относительно оси OY.

5. - при – сжатие вдоль оси OY в раз; при – растяжение вдоль оси OY в раз.

6. - при – растяжение вдоль оси OX в раз; при – сжатие вдоль оси OX в раз.

7. - кривая остается без изменения на участках, где и зеркально отображается относительно оси OX на участках, где .

8. - график совпадает с кривой при и при этом симметричен относительно оси OY.

Пример 6.1. Построить график функции .

Решение. Процесс построения осуществим в три этапа (рис. 6.1):

кривая 1 – график функции ;

кривая 2 – график функции – строится путем сжатия кривой 1 вдоль оси OX в два раза;

кривая 3 – график заданной функции – строится путем сдвига кривой 2 на единицу вверх вдоль оси OY.

Пример 6.2. Построить график функции .

Решение. Строим последовательно графики функций (рис.6.2):

кривая 1 - график ;

кривая 2 - график – путем сдвига кривой 1 вправо на единицу вдоль оси OX;

кривая 3 - график – путем сжатия кривой 2 вдоль оси OY в два раза;

кривая 4 - график – зеркальное отображение кривой 3 относительно оси OX.

Пример 6.3. Построить график дробно-линейной функции .

Решение. Приведем один из возможных вариантов построения графика; для этого проведем преобразования:

, т.е. .

С троим последовательно графики (рис.6.3, 6.3а):

кривая 1 - график ;

кривая 2 - график - сдвиг кривой 1 вдоль оси OX на –2;

к ривая 3 - график - растяжение кривой 2 вдоль оси OY в 2 раза;

кривая 4 - график - зеркальное отображение кривой 3 относительно оси OX;

кривая 5 - график - сдвиг кривой 4 вдоль оси OY на 1 вверх.

Заметим, что график данной функции можно также легко построить, опираясь на известные свойства дробно-линейной функции (наличие вертикальной и горизонтальной асимптот) и определяя координаты точек пересечения графика с осями координат.

П ример 6.4. Построить график функции

Решение. Для строим график путем последовательного построения графиков функций применяя операции зеркального отображения относительно оси OX и сдвига на 1 вверх вдоль о си OY. Для строим график .

Пример 6.5. Построить график функции .

Р ешение. Построим сначала график ; на рис. 6.5 ему соответствует штрих - пунктирная кривая 1. Графику на рис. 6.5 соответствует кривая 2 (сплошная линия). Она совпадает с кривой 1 на участках, где и является зеркальным отображением кривой 1 относительно оси OX на участках, где .

Пример 6.6. Построить график функции .

Р ешение. Построим график (кривая 1 рис. 6.6). График (кривая 2) совпадает с кривой 1 при , и при этом симметричен относительно оси OY.

Пример 6.7. Построить график функции

Решение: Используя свойство модуля, запишем:

при при .

И так, График изображен на рис 6. 7.