9.11. Напруженість поля нескінченно великої зарядженої площини

Визначення. Якщо точка знаходиться від площини на відстані значно меншій ніж лінійні розміри площини, то площина називається нескінченно великою по відношенню до даної точки. При цьому розуміємо, що дана точка знаходиться також достатньо віддалено і від границь площини.

Н апруженість поля нескінченно великої зарядженої площини направлена перпендикулярно до поверхні площини, бо у противному тангенціальна складова напруженості була б відмінна від 0 і стала б джерелом руху зарядів по поверхні, що суперечить закону збереження енергії. Окрім цього, зазначимо, що поле площини є однорідним ( =const). За величиною напруженість поля зарядженої площини з поверхневою густиною заряду  дорівнює

Е = . (6)

Для доведення цього, розглянемо потік Ф вектора напруженості через поверхню циліндра, побудованого так, що його вісь  площині, а перерізом циліндра є круг площею S (див.Мал.83). На поверхні основи циліндра нормаль і , а на бічній поверхні і . Таким чином інтеграл по замкненій поверхні циліндра має відмінними від нуля складові по поверхні двох основ S і тому потік

= .

Усередині циліндра знаходиться заряд і тоді

= .

Прирівнюючи вирази для Ф, маємо

і остаточно

.

Е лектростатичне поле, створене двома нескінченно великими різнойменно зарядженими площинами (див.Мал.13) з однаковою величиною поверхневої густини заряду , знаходиться між ними і його напруженість . Дійсно, як видно з Мал.84, за межами простору між площинами, напруженості поля , створюваного кожною з них, взаємно протилежні і їх векторна сума дорівнює 0. У просторі між площинами напруженості поля Е_ паралельні і величина їх векторної суми дорівнює

= . (7)

9.12.Потенціал поля нескінченно великої зарядженої площини.

Нехай вісь Ох  нескінченно великій зарядженій площині з поверхневою густиною заряду . Для знаходження різниці потенціалів між точками, що знаходяться на відстанях х₁ та х₂ від площини з , скористаємося зв'язком напруженості та потенціалу поля

. (8)

Обчислюючи , ми зважили на те, що  Ох і , де  кут між векторами напруженості та переміщення (див.Мал.85 а).

Якщо поле створюється двома паралельними різнойменно зарядженими площинами, то різниця потенціалів усередині між площинами визначається також виразом (8) із відповідним значенням величини Е (див.Мал.85б).

9.13. Напруженість поля зарядженого циліндра та його потенціал

Визначення. Якщо точка знаходиться від циліндра на відстані значно меншій ніж лінійні розміри циліндра, то циліндр називається нескінченно довгим по відношенню до даної точки. При цьому розуміємо, що дана точка знаходиться також достатньо віддалено від кінців циліндра.

Напруженість поля нескінченно довгого зарядженого циліндра (див.Мал.86) із радіусом основи r та лінійною густиною заряду направлена по нормалі до бічної поверхні циліндра, бо в противному тангенціальна складова напруженості була б відмінна від 0 і по поверхні відбувався б рух зарядів, що суперечить закону збереження енергії. При R > r величина напруженості дорівнює

. (1)

Для доведення (1), побудуємо на осі циліндра другий проміжний циліндр, що охоплює перший, із твірною l і радіусом основи R>r. На поверхні основи проміжного циліндра нормаль до неї , а на бічній поверхні . Таким чином інтеграл по замкненій поверхні проміжного циліндра має відмінною від нуля складову по бічній поверхні і потік

. (2)

Усередині проміжного циліндра знаходиться заряд і за теоремою Гауса-Остроградського

Ф = = . (3)

Прирівнюючи вирази для Ф з (2) й (3), маємо й остаточно

.

Потенціал поля нескінченно великого зарядженого циліндра. Розглянемо нескінченно довгий рівномірно заряджений циліндр радіуса R із лінійною густиною заряду  (див.Мал.87). Зважаючи на те, що вектор направлений уздовж радіальних прямих циліндра, можна записати , де  кут між векторами та (див.Мал.16), та , різницю потенціалів між точками, що знаходяться на відстанях та від осі циліндра ( ), можна записати у вигляді

. (4)

Якщо розглядаються два співвісні різнойменно заряджені металеві циліндри з радіусами та , то в просторі між ними поле створюється лише зарядом внутрішнього циліндра з напруженістю

,

а різниця потенціалів між поверхнями циліндрів становить

. (5)

Якщо , то

і

. (6)

Цей результат збігається з випадком для різниці потенціалів для двох різнойменно заряджених нескінченних площин.