9.4.1. Диференціальний зв'язок напруженості й потенціалу поля.

Сила , що діє на пробний заряд в електричному полі, за час dt переміщує його на d . При цьому вона виконує елементарну роботу

,

де   кут між та d . Ця робота виконується електричним полем за рахунок убутку потенціальної енергії dW

,

і тому можна записати

,

або

. (7)

Вираз (7) є диференціальним рівнянням, що зв'язує енергетичну та силову характеристики поля.

Розв'яжемо рівняння (7) відносно напруженості поля . Якщо переміщення пробного заряду здійснюється вздовж осі ОХ на відстань dx, то і

,

де   кут між віссю ОХ та вектором . Зважаючи на те, що , одержимо

.

Аналогічно можна одержати вирази для складових напруженості

та

і записати вектор через значення його компонент

(8)

або, ввівши математичний оператор градієнта, одержимо

,

вираз (8) запишемо у вигляді

. (9)

Знак мінус означає, що вектор направлений у напрямі зменшення потенціалу .

9.4.2. Інтегральний зв'язок напруженості та потенціалу поля. Циркуляція напруженості

Якщо проінтегрувати вираз (7) уздовж якоїсь кривої, по якій може переноситися заряд q₀ із точки 1 у точку 2, то одержимо

. (10)

Інтеграл у лівій частині (10) обчислюється елементарно

. (11)

Інтеграл у правій частині (10) чисельно дорівнює роботі по перенесенню одиничного заряду з точки 1 у точку 2 поля і, з огляду на (11), ця робота не залежить від шляху, по якому він буде переноситися. Остаточно різницю потенціалів між точками 1 та 2 можна записати у вигляді

(12)

Якщо крива L буде замкненою, то точка 2 співпаде з точкою 1 і тоді , а інтегрування буде проводитися по замкненому контуру

. (13)

Циркуляцією Г_Е вектора напруженості Е називається інтеграл по будь-якій замкненій кривій L від , тобто

.

Вираз (13) визначає, що циркуляція напруженості електростатичного поля

(14)

Якщо циркуляція вектора напруженості силового поля дорівнює 0, то поле є потенціальним, у противному - поле називається вихровим.

9.4.3. Взаємне розташування силових ліній та еквіпотенціальних поверхонь

Покажемо, що силова лінія L і еквіпотенціальна поверхня S у точці перетину A взаємно перпендикулярні, тобто кут між дотичними до них становить =90^о (див.Мал.74а). Доведемо це твердження.

П ри переміщенні одиничного пробного заряду по еквіпотенціальній поверхні (=const) на вектор виконується елементарна робота , яка дорівнює . Приріст потенціалу між будь-якими точками цієї поверхні дорівнює 0 і тому скалярний добуток , що означає перпендикулярність векторів та (=90⁰). Вектори та лежать на дотичних до силової лінії L та еквіпотенціальної поверхні S і визначають кут між силовою лінією та еквіпотенціальною поверхнею. Таким чином доведено, що силова лінія L і еквіпотенціальна поверхня S у точці перетину A взаємно перпендикулярні. На Мал.74б представлено силові лінії напруженості та еквіпотенціальні поверхні для неоднорідного розподілу заряду на поверхні. За величиною густини силових ліній видно, що напруженість поля більше при вістрях зарядженого тіла.

9.5. Потенціал поля точкового заряду q

У випадку електричного поля точкового заряду q напруженість поля є

. (15)

Нехай переміщення пробного заряду є (див.Мал.4). У такому випадку рівняння (7) для точкового заряду q запишеться у вигляді

. (16)

Після інтегрування (16) одержимо

Величину константи С можна знайти з умови, що при r взаємодія зарядів зникає, потенціал 0 і тоді константа С=0. При виведенні величини , ми зважили на те, що величина dRcos є приріст відстані між зарядами dr (див.Мал.75). Дійсно, відстань між зарядами l можна визначити так

,

а приріст відстані між зарядами (lr) знайдемо так

Остаточно потенціал електростатичного поля точкового заряду q на відстані r від нього дорівнює

. (17)

Якщо поле створене декількома зарядами, то потенціальна енергія пробного заряду буде складатися з енергій взаємодії з кожним із зарядів

_i , ,

і остаточно

. (18)

Одержаний вираз (18) знову приводить до принципу суперпозиції для потенціалу: потенціал поля в точці А, створеного декількома точковими електричними зарядами, є алгебраїчною сумою потенціалів, створених кожним із зарядів окремо.