- •Автор: Григоренко в.К.
- •§1. Екстремум функції багатьох змінних.
- •§2 Функціонал.
- •§3 Варіація функціоналу.
- •§4. Друга варіація функціоналу.
- •§5. Екстремум функціоналу.
- •§7. Друге узагальнення найпростішої варіаційної задачі.
- •§8. Умовний екстремум функції багатьох змінних г, с*
- •§9. Умовний екстремум функціонала.
- •§10. Ізопериметричні задачі.
- •§11. Варіаційні задачі з рухомими межами.
- •§12. Варіаційні задачі з кутовими точками.
- •§13. Поле екстремалей.
- •§14. Необхідні достатні умови мінімуму (максимуму) функціонала
- •§15. Система запитань.
- •§16. Відповіді до системи запитань.
§13. Поле екстремалей.
Означення 1. Сім'я кривих у = у(х, с) утворює власне поле в заданій області (D) площини ХОУ, якщо через кожну точку (х, у) цієї області проходить одна і тільки одна крива цієї сім'ї.
Означення 2. Кутовий коефіцієнт Р(х, у) дотичної до кривої сім'ї у = у(х, с), що проходить через точку (х, у), називається нахилом поля в точці (х, у).
Означення 3. Сім'я кривих у = у(х, с) утворює центральне поле в області (D) площини ХОУ, якщо ці криві покривають без самоперетинів всю область (D) і виходять з однієї точки (хо,уо), яка лежить поза областю (D). Точка (х0,уо) -називається центром пучка кривих.
Приклад 1. В середині круга х2 + у2 ≤ 1 сім'я кривих у = Сех, С - довільна стала, утворює власне поле, бо ці криві ніде не перетинаються і через кожну точку круга проходить одна і тільки одна крива цієї сім'ї.
Нахил поля в довільній точці (х; у) дорівнює Р(х; у) = Сеx
Приклад 2. Сім'я кривих у = (х + с)2 всередині круга х2 + у ≤ 1 власного поля не утворює, бо різні криві сім'ї перетинаються всередині круга і не покривають всю область.
Приклад 3. Сім'я кривих у = Сх. Утворює центральне поле в області х > 0.
Задачі. Чи утворюють поле (власне або центральне) сім'ї кривих в указаних областях:
y=ctgx , 0 ≤х ≤ π/4; - π /2 ≤у ≤ π /2.
В. Центральне поле.
у = Ссоs х; а) | х | < π /4; б) π /2 < х ≤ π; в) | х | ≤ π.
В. а) власне поле; б) центральне поле; в) поля не утворюють.
3. у = (х-с)3 , ≤1
В. Власне поле.
4. у = с(х2 -2х) ; а) 0 ≤х < 1; б) - 1 ≤х ≤ 3; в) ≤ х ≤ .
В. а) центральне поле; б) поле не утворюють; в) власне поле.
5. у = ; ;б) ;в)
В. а) центральне поле; б) власне поле; в) поле не утворюють.
6. у = ех+с ,х2 +у2 ≤1.
В. Поле не утворюють, бо сім'я кривих не покриває всю область. Якщо поле (власне або центральне) утворене сім'єю екстремалей деякої варіаційної задачі, то воно називається полем екстремалей.
Приклад 4. Розглянемо функціонал J[y(х)] = у'2 dх. Його екстремалями є прямі у = c 1 x+ c2- Сім'я екстремалей у = с2 утворює власне поле, а сім'я
екстремалей у = c 1 x утворює центральне поле з центром в початку координат.
Задачі. Вказати власне і центральне поле екстремалей функціоналів:
7. J[y(х)] = (у' г +у2)dх,а>0.
В. у = c 1 chх - утворює власне поле екстремалей; у = с2shх - утворює центральне поле.
8-.J[y(х)] = (у' 2-у2+х2+4)dх.
В. у = Ссоsх утворює власне поле екстремалей.
у = Сsinх утворює центральне поле екстремалей.
Нехай крива у = у(х) - екстремаль функціонала J[y(х)] = F(х,у,у')dх,
яка проходить через точки А(х0, у0) і В(х1, у1).
Екстремаль у = у(х) включена у власне поле екстремалей, якщо існує сім'я екстремалей у = у(х, с), яка утворює поле, що містить при деякому значенні
с = с0 екстремаль у = у(х), причому ця екстремаль не лежить на границі області (D), в якій сім'я у = у(х, с) утворює поле.
Те ж саме для центрального поля.
Приклад 5. Розглянемо варіаційну задачу для функціонала
J[y(х)] = (y'3 + sin 2x )dx.
а)Нехай у(0) = 1; у(2) = 1. Сім'я екстремалей даного функціонала у = c 1 x +с2. Заданим граничним умовам задовольняє екстремаль у = 1. Ця екстремаль включається у власне поле екстремалей у = с2 , де с2 - довільна стала.
б) Нехай у(0) = 0; у(2) = 4. Екстремаль, що відповідає цим граничним умовам є у = 2х, яка включається в центральне поле екстремалей,
у=c1x (c1 - довільна стала) з центром в точці (0; 0).
Приклад 6. Розглянемо варіаційну задачу для функціонала
J[y(х)] = y'(2х- )dx , y(-1) = 0; y(1) =
Його сім'я екстремалей є у = х2 + c1 х + c2. Екстремаль, що відповідає граничним умовам є: у = х2 + х/4 - . її можна включити у власне поле екстремалей
у = х + х/4 + с2
Задачі. Показати, що екстремалі варіаційних задач можна включити в поле
екстремалей (власне або центральне).
9. J[y(х)] = (y'2 - 2ху)d х, у(0) = у(1) = 0.
В. Екстремаль у = (1 – х2 ) включається в центральне поле екстремалей
у = c1 x - з центром в точці (0; 0).
10. J[y(х)] = (2еху + у' 2)dх, у(0) = 1; y(1) = е.
В. Екстремаль у = ех можна включити у власне поле екстремалей у = ех +с.
11. J[y(х)] = (уг - y'2)dx , а>0,а ; у(0) = 0, у(а) = 0.
В. Якщо а < π , то екстремаль у = 0 можна включити в центральне поле екстремалей у = Сsinх з центром в точці (0;0). Якщо а > π сім'я кривих у = Сsinх поля не утворює.
12. J[y(х)] = (у'2+х2)dх, у(0) = 1; у(2) = 3.
В. Екстремаль у = х + 1 включається у власне поле у = х + с.
Означення. С-дискримінантною кривою сім'ї Ф(х, у, с) = 0 плоских кривих називається геометричне місце точок, що визначається системою рівнянь:
В склад С - дискримінантної кривої входять обвідні сім'ї, ГМТ вузлових точок і ГМТ точок загострення.
Означення. Обвідною сім'ї Ф(х, у, с) = 0 називається крива, яка в кожній своїй точці дотикається деякої кривої даної сім'ї і кожної ділянки якої дотикається безліч кривих сім'ї.
Якщо є пучок кривих з центром в точці А(х0; у0), то центр пучка належить С - дискримінантній кривій.
Приклад 7. Знайти С - дискримінантну криву сім'ї у = (х - с)2.
Розв 'язання. Маємо систему:
Ця лінія є обвідною сім'ї кривих. Дійсно, в будь-якій точці х = xо лінія у = 0 має спільну дотичну з відповідною кривою сім'ї у = (х – х0)2. Крім того, яку б маленьку ланку лінії у = 0 не взяти, її дотикаються безліч кривих даної сім'ї. Ця
С - дискримінантна крива складається лише з обвідної.
Задачі. Знайти С - дискримінантні криві заданої сім'ї кривих:
13.у = сх + с2. В.;у = -х2/4.
14. у = (с - х) - с2. В. у(у /4- х)=0
15.(х-с)2+y2=1.В.y2-1=0.
Якщо дуга АВ кривої у = у(х) має відмінну від А спільну точку А* з С -дискримінантною кривою пучка у = у(х, с) з центром в точці А, що містить дану криву, то точка А* називається спряженою точкою до точки А.
Приклад 8. Розглянемо сім'ю кривих у = Сsinх. С - дискримінантну криву
цієї сім і визначаємо з системи:
Вона представляє собою дискретну множину точок (kπ, 0), k = 0, 1, ±2,...(точки перетину синусоїди з віссю ОХ). Візьмемо, наприклад, с = 2, одержимо криву у = 2sinх, яка належить даному пучку синусоїд з центром в точці О(0, 0). Якщо другий кінець В дуги кривої у = 2sinх має абсцису
х (π; 2π), то дуга ОВ буде містити ще одну точку (крім точки О(0;0)), яка належить С - дискримінантній кривій 0*( π; 0), яка буде спряженою до точки О(0;0). Якщо 0 < х < π, то точок, спряжених з точкою О(0;0), на дузі ОВ немає.
Задачі.
16. Дано сім'ю кривих у = с(х - 1)х. Знайти точку спряжену з точкою О(0;0).
В.О*(1;0).
17. Дано сім'ю кривих у = сshх. Знайти точку спряжену з точкою О(0;0). В. Спряженої точки немає.
Достатні умови Лежандра включення екстремалі функціонала в поле екстремалей.
Достатньою умовою включення екстремалі функціонала
J[y(х)] = F(x,y,y ') dx y(х0) = y0, y(х1) = y1 в поле екстремалей є підсилена
умова Лежандра: > 0 в усіх точках розглядуваної екстремалі (тобто при всіх х [х0, x1].
Приклад 9. Чи включається екстремаль функціонала
J[y(х)] = (y'4+ у'2 )dx , у(0) = 1, у(2) = 5 в поле екстремалей.
Розв'язання. Екстремалі - прямі у = с1х + с2. Екстремаль, яка задовольняє граничні умови є : у = 2х + 1; у' = 2.
F"y'y' =12у'2 + 2 = 50 > 0 в усіх точках екстремалі у = 2х + 1.
Підсилена умова Лежандра виконується, то екстремаль у = 2х + 1 може бути включена в поле екстремалей. Справді екстремаль у =2х + 1 міститься в однопараметричній сім'ї екстремалей у = 2х + с, які утворюють власне поле.
Приклад 10. Чи включається екстремаль функціонала J[y(х)] = ( х2у' 2 + 12у2)dх, у(-1) = -1; у(1) = 1 в поле екстремалей. Розв'язання. Рівняння Ейлера для цього функціонала
x2 у" + 2ху' — 12у = 0. (рівняння Ейлера, підстановка у = х2 )Загальний
розв'язок є у = c1 х3 + с2х -4. Поставленим граничним умовам задовольняє екстремаль у = х3 .Її не можна включити в поле. Єдиною однопараметричною сім'єю екстремалей, яка містить її, є сім'я у = α х3. Але вона не перекриває області, що містить точку з абсцисою х = 0 (через точки осі ОУ з ординатами відмінними від нуля, екстремалі цієї сім'ї не проходять).
F"y'y' = 2х2 і підсилена умова Лежандра не виконується при х = 0.
Задачі. Перевірити можливість включення екстремалі в поле для функціоналів:
18. J[y(х)] = (y' 2-yу' 3) dх; у(0) = 0, у(1) = 0. В. Так.
19. J[y(х)] = у' 3 dх; у(0) = 0, у(а) = b > 0. В. Так.
20. J[y(х)] = п(у) dх; у(х0)=у0,, у(х1) = y1, n(у) > 0. В. Так.
21. J[y(х)] = (6у'2 -у'4)dх; у(0) = 0, у(а) = b; а > 0, b > 0.
В. Так, але умова Лежандра виконується лише при b/а < 1.
22.J[y(х)] = ; A (0,0) , B (a,0)
Достатня умова Якобі можливості включення екстремалі в центральне поле
екстремалей.
Для того, щоб дугу АВ екстремалі можна було включити в центральне поле екстремалей з центром в точці А(х0, уо), достатньо, щоб точка А*, спряжена з точкою А, не належала дузі АВ.
Приклад 11. Перевірити можливість включення екстремалі у = 0 в центральне поле екстремалей з центром в точці О(0;0):
J[y(х)] = (y' 2 -9у2 + e - 1)dx , у(0) = 0; у(а) = 0.
Розв'язання. Рівняння Ейлера для даного функціонала має вигляд:
у" + 9у = 0.
Його загальний розв'язок у(х) = c1 sin3х + с2соs3хk.
Якщо а - ціле число, то екстремаллю, яка задовольняє заданим
граничним умовам є у = 0. Розглянемо однопараметричну сім'ю екстремалей
у1 =c1 sin3х. Її С - дискримінантна крива складається з точок ( ,0),k - ціле
число; тому, якщо а < ,то точки, спряженої до точки О(0;0) на екстремалі
у= 0 немає, тому цю екстремаль можна включити в центральне поле екстремалей
з центром в точці О(0;0). Якщо ж а , то на екстремалі у = 0 буде
принаймні одна точка, спряжена з точкою О(0;0), і достатня умова Якобі не виконується. В цьому випадку екстремалі у = c1 sin3х поля не утворюють.
Аналітична форма умови Якобі.
Нехай є функціонал J[y(х)] = F(х,у,у')dх з граничними умовами
y(x0) = y0, y(x1) = y1.
Якщо розв'язок u= u(х) рівняння Якобі
= 0 ,що задовольняє ще умову
u(х0) = 0, перетворюється в 0 ще в якій-небудь точці інтервалу (х0, х1), то спряжена з А(х0, у0) точка А* лежить на дузі АВ екстремалі В(x1 , у1).
Якщо існує розв'язок u(х) рівняння Якобі що задовольняє умову u(х) = 0, який не перетворюється в 0 ні в одній точці півінтервала х0 < х < х1 , то на дузі АВ немає точок, спряжених з А. В цьому випадку дугу АВ екстремалі можна включити в центральне поле екстремалей з центром в точці А(х0, у0).
Приклад 12. Чи виконується умова Якобі для екстремалі функціонала
J[y(х)] = d х, (а≠(n + ), що проходить через точки
А(0;0) і В(а;0)?
Розв 'язання.
Рівняння Якобі u" + 4u = 0. Його загальний розв'язок u(х) = c1 sin2х. + +с2соs2х. З умови u(0) = 0 знаходимо, що с2 = 0, так що u(х) = c1 sin2x.. Якщо
а < /2, то функція u(х) не перетворюється в нуль при 0 < х < а, і умова Якобі виконується, якщо ж а > π/2, то розв'язок Якобі u(х) = c1 sin2х. перетворюється в 0 в точці х = π/2 [0; а], на дузі екстремалі у = 0 (0 < х < а) знаходиться точка, спряжена з точкою А(0;0). Таким чином, при а > π/2 не існує центрального поля екстремалей, яке включає дану екстремаль.
Задачі. Перевірити виконуваність умови Якобі для екстремалей, що проходять через точки:
23. J[y(х)] = (у' 2 +х2)d х;у(0) = 0;у(а) = 3. В. Виконується.
24. J[y(х)] = (12ху + у'2 + х2)dх; у(-1) = -2; у(1) = 0. В. Виконується.
25. J[y(х)] = (у'2 + 9у2 - Зх)dх; у(0) = 0; у(а) = 0 .В. Виконується а.
26. J[y(х)] = (1 + у' 2)dх; у(0) = у(1) = 0. В. Виконується.
27. J[y(х)] = у' сіх; у(0) = 1; у (а) =b, а > 0. В. Виконується.
28. J[y(х)] = (у' 2 -у2)dx ; у(0) = 0; у(2π) = 1 .. В. Умова Якобі не виконується.
29.J[y(х)] = , що проходить через т. A (0,0) , B (a,0)?