§2 Функціонал.

Означення функціонала. Близькість кривої. Неперервність функціонала.

Нехай дано клас Е функцій у(х). Якщо кожній функції у(х) М по деякому закону поставлено у відповідність число J R, то говорять, що на множині Е визначено функціонал J і записують J = J[y(x)]: E R. Клас Е – область визначення функціонала J.

Приклад І. Нехай Е = С[0; 1] – множина всіх неперервних функцій у(х), які визначені на [0; 1] і J[y(x)]= – функціонал, який визначений на множині неперервних функцій на [0; 1].

Приклад 2. Е = С⁽¹⁾[а; b] – клас функцій у(х), які мають неперервну – похідну у'(х) на [а; b]. Тоді J[y(x)]= – функціонал, визначений на цій множині функцій. Він геометрично виражає довжину дуги кривої у = у(х) з кінцями в точках А(а, у(а)) і B(b, y(b)).

Криві у = у(х) і у = у₁(х) близькі в смислі близькості нульового порядку, якщо р(у(х),у₁(х)) мала на [а,b]. Тут р(у(х),у₀(х)) = . Це близькість по ординатах.

Криві у = у(х) і у = у₀(х) на [а, Ь] близькі в смислі близькості першого порядку, якщо р(у(х), у₀(х)) і р(у'(х), у'₀(х)) малі на [а, Ь]. Це близькість не тільки по координатах, але і по напрямках дотичних. Якщо криві близькі в смислі першого порядку, то вони близькі в смислі 0-го порядку.

Приклад 3.

Криві , n – достатньо велике і на близькі в смислі нульового порядку, бо

при для всіх х .

Але близькості першого порядку немає, бо і при , отже не може бути малим для всіх х при .

Приклад 4.

Криві , де n – достатньо велике і на близькі в смислі 1-го порядку, бо

, і малі для всіх х

при .

Задача.

Встановити порядок близькості кривих:

1. , на . Відповідь: Перший.

2. , на . Відповідь: Близькість до будь – якого порядку.

3. , на . Відповідь: близькість до будь – якого порядку.

Означення? Відстанню між кривими і , х , неперервні на функції, називається максимум виразу на , тобто:

.

Приклад 5.

Знайти відстань ρ між кривими і на .

Розв’язання.

По означенню . На кінцях функція х-х² перетворюється в нуль. Вона має екстремум в точці х=1/2. Справді у^´=1-2х; у^´ =0 при х=1/2.

Отже, .

Задачі. Знайти відстань між кривими на вказаних проміжках.

4. .

5 . В. ρ=1.

6. .

Відстань n – го порядку між кривими і виражається так:

.

Приклад 6.

Знайти відстань першого порядку між кривими f(x)=x² i f₁(x)=x³ на [0,1].

Розв’язання.

.

Розглянемо функції у₁(х)=х²-х³ і у₂(х)= . Знайдемо їх найбільше значення на [0,1]. Маємо . Стаціонарні точки функції у₁(х) є х₁=0 і х₂=2/3. Крім того, =0; = ; значення =0. Звідси .

Знайдемо тепер відстань нульового порядку між похідними :

.

Побудуємо графік функції у(х)= .

З малюнка видно, що . Отже, відстань першого порядку між кривими

f(x)=x² i f₁(x)=x3 рівна = .

Задачі.

7. Знайти відстань першого порядку між кривими і на . В.

8. Знайти відстань другого порядку між кривими і на . В. .

9. Знайти відстань 1001 – го порядку між кривими і на . В. .

Неперервність функціонала. Функціонал J[у(х)] визначений на множині Е функцій у(х), називається неперервним при у = у₀(х) в смислі близькості n-го порядку, якщо для довільного ε > 0 існує число δ > 0 таке, що для всіх допустимих функцій у = у(х), які задовольняють умови | у(х) - yо(х)| < δ,

| у'(х) -у'₀(х)| < δ, ..., | у⁽ⁿ⁾(х) - у⁽ⁿ⁾₀(х)| < δ виконується нерівність

|J[у(х)] - J[уо(х)]| < ε.

Або (Функціонал J[у(х)] неперервний при у = у₀(х) в смислі близькості

n-го порядку) ε > 0 > 0 у(х) (| у(х) - у₀(х)| < δ | у'(х) - у'₀(х)| <

< δ … І y⁽ⁿ⁾(х) - у⁽ⁿ⁾₀(х)| < δ |J[у(х)] - J[у₀(х)]| < ε ).

Або J[у(х)] неперервний при у = у₀(х), якщо

J[y₀ (х)] + а (х)] = J[у₀ (x)].

Завдання. Наведіть означення розривного функціонала..

Показати, що функціонал

J[ y(x)]= (у(х) + 2у'(х))<dх визначений в просторі С⁽¹⁾[0; 1] неперервний на функції у₀(х) в смислі близькості першого порядку.

Розв'язання.

Візьмемо довільне число ε> 0. Покажемо, що існує число δ > 0 таке, що |J[у(х)] – J[y₀(х)]| < ε, як тільки |у(х) - х| < δ і |у'(х) - 1| < δ. Маємо |J[у(х)] - J[х]|

⁼ | + 2у'(х)- x-2) dx | ≤ | у(х) –х|dх + 2 | у'(х) -1|dx..

Виберемо δ= ε/3. Тоді для всіх у(х) С⁽¹⁾[0; 1], для яких |у(х) —х| < ε /3 і

|у'(х) - 1|< ε /3, будемо мати |J[у(х) - J[х]| < ε. Це означає, що даний функціонал неперервний.

Приклад 8.

Показати, що функціонал

J[y(x)] = y^'2 (х)dх визначений на просторі С⁽¹⁾[0; ]розривний на функції

y₀(х) 0 в смислі близькості нульового порядку. Розв'язання.

Візьмемо у_n (х) = ; х є [0; ]. Тоді ρ₀(у₀(х), у_n(х)) = 1/n і ρ₀ 0 при

n . З другого боку, різниця J[уn(х)] - J[у₀(х)] = соs² пхdх = не залежить від n. Отже при n J[у_n(х)] не прямує до J[у₀(х)] = 0 і, значить даний функціонал розривний в смислі близькості нульового порядку на функція у₀(х) 0.

Задачі.

Дослідити на неперервність функціонали:

10.J[у(х)] = у(х₀), у(х) С_{[a ; b]} в смислі близькості нульового порядку. В. неперервний.

11. J[у(х)] = mах |у(х₀)|, де у(х) у(х) С_{[a ; b]} в смислі близькості нульового порядку. В. неперервний.

12. J[у(х)] = на функціїу₀(х) 0, де функції у(х) С¹_{[0 ; ]}:

а) в смислі близькості нульового порядку; б) в смислі близькості першого

порядку. В. а) розривний; б) неперервний.

13. J[у(х)] = на функції у₀(х) 0, де у(х) С¹_{[0 ; ]} в смислі близькості першого порядку. В. неперервний.

14. J[у(х)] = х³ на функції у ₀(х) = х², де у(х) С¹_{[0 ; 1]} в смислі близькості нульового порядку. В. неперервний.