- •Автор: Григоренко в.К.
- •§1. Екстремум функції багатьох змінних.
- •§2 Функціонал.
- •§3 Варіація функціоналу.
- •§4. Друга варіація функціоналу.
- •§5. Екстремум функціоналу.
- •§7. Друге узагальнення найпростішої варіаційної задачі.
- •§8. Умовний екстремум функції багатьох змінних г, с*
- •§9. Умовний екстремум функціонала.
- •§10. Ізопериметричні задачі.
- •§11. Варіаційні задачі з рухомими межами.
- •§12. Варіаційні задачі з кутовими точками.
- •§13. Поле екстремалей.
- •§14. Необхідні достатні умови мінімуму (максимуму) функціонала
- •§15. Система запитань.
- •§16. Відповіді до системи запитань.
§2 Функціонал.
Означення функціонала. Близькість кривої. Неперервність функціонала.
Нехай дано клас Е функцій у(х). Якщо кожній функції у(х) М по деякому закону поставлено у відповідність число J R, то говорять, що на множині Е визначено функціонал J і записують J = J[y(x)]: E R. Клас Е – область визначення функціонала J.
Приклад І. Нехай Е = С[0; 1] – множина всіх неперервних функцій у(х), які визначені на [0; 1] і J[y(x)]= – функціонал, який визначений на множині неперервних функцій на [0; 1].
Приклад 2. Е = С(1)[а; b] – клас функцій у(х), які мають неперервну – похідну у'(х) на [а; b]. Тоді J[y(x)]= – функціонал, визначений на цій множині функцій. Він геометрично виражає довжину дуги кривої у = у(х) з кінцями в точках А(а, у(а)) і B(b, y(b)).
Криві у = у(х) і у = у1(х) близькі в смислі близькості нульового порядку, якщо р(у(х),у1(х)) мала на [а,b]. Тут р(у(х),у0(х)) = . Це близькість по ординатах.
Криві у = у(х) і у = у0(х) на [а, Ь] близькі в смислі близькості першого порядку, якщо р(у(х), у0(х)) і р(у'(х), у'0(х)) малі на [а, Ь]. Це близькість не тільки по координатах, але і по напрямках дотичних. Якщо криві близькі в смислі першого порядку, то вони близькі в смислі 0-го порядку.
Приклад 3.
Криві , n – достатньо велике і на близькі в смислі нульового порядку, бо
при для всіх х .
Але близькості першого порядку немає, бо і при , отже не може бути малим для всіх х при .
Приклад 4.
Криві , де n – достатньо велике і на близькі в смислі 1-го порядку, бо
, і малі для всіх х
при .
Задача.
Встановити порядок близькості кривих:
1. , на . Відповідь: Перший.
2. , на . Відповідь: Близькість до будь – якого порядку.
3. , на . Відповідь: близькість до будь – якого порядку.
Означення? Відстанню між кривими і , х , неперервні на функції, називається максимум виразу на , тобто:
.
Приклад 5.
Знайти відстань ρ між кривими і на .
Розв’язання.
По означенню . На кінцях функція х-х2 перетворюється в нуль. Вона має екстремум в точці х=1/2. Справді у´=1-2х; у´ =0 при х=1/2.
Отже, .
Задачі. Знайти відстань між кривими на вказаних проміжках.
4. .
5 . В. ρ=1.
6. .
Відстань n – го порядку між кривими і виражається так:
.
Приклад 6.
Знайти відстань першого порядку між кривими f(x)=x2 i f1(x)=x3 на [0,1].
Розв’язання.
.
Розглянемо функції у1(х)=х2-х3 і у2(х)= . Знайдемо їх найбільше значення на [0,1]. Маємо . Стаціонарні точки функції у1(х) є х1=0 і х2=2/3. Крім того, =0; = ; значення =0. Звідси .
Знайдемо тепер відстань нульового порядку між похідними :
.
Побудуємо графік функції у(х)= .
З малюнка видно, що . Отже, відстань першого порядку між кривими
f(x)=x2 i f1(x)=x3 рівна = .
Задачі.
7. Знайти відстань першого порядку між кривими і на . В.
8. Знайти відстань другого порядку між кривими і на . В. .
9. Знайти відстань 1001 – го порядку між кривими і на . В. .
Неперервність функціонала. Функціонал J[у(х)] визначений на множині Е функцій у(х), називається неперервним при у = у0(х) в смислі близькості n-го порядку, якщо для довільного ε > 0 існує число δ > 0 таке, що для всіх допустимих функцій у = у(х), які задовольняють умови | у(х) - yо(х)| < δ,
| у'(х) -у'0(х)| < δ, ..., | у(n)(х) - у(n)0(х)| < δ виконується нерівність
|J[у(х)] - J[уо(х)]| < ε.
Або (Функціонал J[у(х)] неперервний при у = у0(х) в смислі близькості
n-го порядку) ε > 0 > 0 у(х) (| у(х) - у0(х)| < δ | у'(х) - у'0(х)| <
< δ … І y(n)(х) - у(n)0(х)| < δ |J[у(х)] - J[у0(х)]| < ε ).
Або J[у(х)] неперервний при у = у0(х), якщо
J[y0 (х)] + а (х)] = J[у0 (x)].
Завдання. Наведіть означення розривного функціонала..
Показати, що функціонал
J[ y(x)]= (у(х) + 2у'(х))<dх визначений в просторі С(1)[0; 1] неперервний на функції у0(х) в смислі близькості першого порядку.
Розв'язання.
Візьмемо довільне число ε> 0. Покажемо, що існує число δ > 0 таке, що |J[у(х)] – J[y0(х)]| < ε, як тільки |у(х) - х| < δ і |у'(х) - 1| < δ. Маємо |J[у(х)] - J[х]|
= | + 2у'(х)- x-2) dx | ≤ | у(х) –х|dх + 2 | у'(х) -1|dx..
Виберемо δ= ε/3. Тоді для всіх у(х) С(1)[0; 1], для яких |у(х) —х| < ε /3 і
|у'(х) - 1|< ε /3, будемо мати |J[у(х) - J[х]| < ε. Це означає, що даний функціонал неперервний.
Приклад 8.
Показати, що функціонал
J[y(x)] = y'2 (х)dх визначений на просторі С(1)[0; ]розривний на функції
y0(х) 0 в смислі близькості нульового порядку. Розв'язання.
Візьмемо уn (х) = ; х є [0; ]. Тоді ρ0(у0(х), уn(х)) = 1/n і ρ0 0 при
n . З другого боку, різниця J[уn(х)] - J[у0(х)] = соs2 пхdх = не залежить від n. Отже при n J[уn(х)] не прямує до J[у0(х)] = 0 і, значить даний функціонал розривний в смислі близькості нульового порядку на функція у0(х) 0.
Задачі.
Дослідити на неперервність функціонали:
10.J[у(х)] = у(х0), у(х) С[a ; b] в смислі близькості нульового порядку. В. неперервний.
J[у(х)] = mах |у(х0)|, де у(х) у(х) С[a ; b] в смислі близькості нульового порядку. В. неперервний.
J[у(х)] = на функціїу0(х) 0, де функції у(х) С1[0 ; ]:
а) в смислі близькості нульового порядку; б) в смислі близькості першого
порядку. В. а) розривний; б) неперервний.
J[у(х)] = на функції у0(х) 0, де у(х) С1[0 ; ] в смислі близькості першого порядку. В. неперервний.
J[у(х)] = х3 на функції у 0(х) = х2, де у(х) С1[0 ; 1] в смислі близькості нульового порядку. В. неперервний.